Качественные рассуждения о динамических системах

В данном разделе рассматривается один из подходов к проведению качественных рассуждений о динамических системах. Рассматриваемый здесь подход основан на использовании так называемых качественных дифференциальных уравнений (Quali-

Часть II. Применение языка Prolog в области искусственного интеллекта

tative Differential Equation - QDE). Уравнения QDE могут рассматриваться как ка­чественная абстракция обычных дифференциальных уравнений. Для формирования интуитивного представления и ознакомления с основными идеями этого подхода рас­смотрим пример заполнения ванны при открытом сливе (рис. 20.3). Для начала про­ведем неформально некоторые качественные рассуждения об этой системе. При этом будем рассматривать следующие переменные: поток, поступающий в ванну (приток), исходящий поток (отток), количество и уровень воды в ванне.

 

Рис. 20.3. Схема ванны с открытым сливом и по­стоянным притоком

Предположим, что процесс начинается с пустой ванны. Отток воды, вытекающий через слив, зависит от уровня воды: чем выше уровень, тем больше отток. Приток воды является постоянным. Чистое пополнение объема воды в ванне выражается как разность между притоком и оттоком. Первоначально уровень воды является низким, отток меньше, чем приток, следовательно, количество воды в ванне возрастает. По­этому уровень также повышается, что приводит к увеличению оттока воды. Таким образом в какой-то момент времени отток может стать равным притоку. По данным точного количественного анализа такая ситуация возникает лишь после "очень про­должительного" времени (которое можно считать бесконечным). После того как это произойдет, оба потока приходят в состояние равновесия и уровень воды становится стабильным. График изменения уровня воды во времени (количественный) выглядит примерно так, как показано на рис. 20.4.

Уровень (Laval)

впрхний (top)

установившийся (steady)

возрастающий (inc)

гут '!.<:■."■

(гаю)

Время

Рис. 20.4, График изменения уровня воды so времени

Количественное поведение уровня, показанное на рис. 20.4, можно упрощенно представить в виде описания качественного поведения следующим образом. Первона­чально уровень является нулевым и возрастающим. Выберем для представления этой ситуации следующее обозначение: Level - zero/inc

После этого наступает такой промежуток времени, в котором уровень находится в пределах от нуля (zero) до максимального значения (top) и продолжает возрастать.

Глава 20. Качественные рассуждения

В качественной модели невозможно провести различия между точными числовыми значениями, находящимися в пределах от zero до top. Поэтому считается, что эти значения являются достаточно аналогичными по смыслу и, следовательно, остаются одинаковыми с качественной точки зрения. Итак, справедлива следующая формула: Level = zero..top/inc

Очередное качественное изменение происходит после того, как уровень перестает повышаться и становится стабильным, как показано ниже. Level = zero..top/std

Это — окончательное качественное состояние уровня воды.

Теперь формализуем качественные рассуждения, приведенные выше. Вначале оп­ределим качественную модель системы с ванной. Переменные этой системы перечис­лены ниже.

• Level. Уровень воды.

• Amount. Количество воды.

• Inflow. Входной поток (приток).

• Outflow. Выходной поток (отток).

• Netflow. Чистое пополнение объема воды в ванне (Netflow = Inflow -Outflow).

Для каждой переменной определяются ее различимые значения, называемые от­метками (landmark). Как правило, среди отметок встречаются минус бесконечность (minf), нуль (zero) и плюс бесконечность (inf). Что касается уровня воды в ванне, Level, то важное значение имеет также максимально допустимый уровень воды в ванне (top), поэтому было решено включить в состав отметок и это значение. С дру­гой стороны, поскольку уровень никогда не принимает отрицательного значения, то нет необходимости включать minf в состав отметок для уровня Level. Отметки зсе-гда упорядочены. Поэтому для уровня (Level) задано следующее упорядоченное множество отметок: zero < top < inf

Для количества воды в ванне (Amount) могут быть выбраны такие отметки: zero < full < inf

Теперь определим зависимости между переменными в модели. Эти зависимости называются ограничениями, поскольку налагают определенные пределы на значения переменных.

В разрабатываемой модели применяются ограничения некоторых видов, типич­ные для качественных рассуждений. Одно из таких ограничений определяет зависи­мость между переменными Amount и Level — чем больше количество воды, тем вы­ше уровень. Это ограничение записывается следующим образом:

М_о [ Amount, Level)

В общем обозначение M'(X,Y) указывает, что Y- монотонно возрастающая функция от X: после каждого увеличения X увеличивается также Y и наоборот. За­пись M₀(x,Y) указывает, что Y — монотонно возрастающая функция от X, такая, что Y(0) = 0. Принято считать, что для такой связи М* пара (0, 0) включает соответст­вующие ей значения. Еще одной парой соответствующих значений для этой связи М" является (full, top). Важно подчеркнуть, что запись М⁺ (X, Y) эквивалентна записи м";Y,X).

Ограничения, определяющие монотонно возрастающую функцию, являются очень удобными и часто позволяют намного упростить определение модели. Применяя за­пись Мд (Amount, Level), мы просто утверждаем, что уровень повышается при каж­дом увеличении количества и снижается после уменьшения этого количества. Следу­ет отметить, что такое ограничение остается справедливым для любого контейнера

Часть II. Применение языка Prolog e области искусственного интеллекта

произвольной формы. Если бы вместо этого мы решили определить точное количест­венное функциональное отношение: Amount = f(Level}

то оно зависело бы от формы контейнера, как показано на рис. 20.5. Но с качествен­ной точки зрения отношение между уровнем и количеством всегда является моно­тонно возрастающим, независимо от формы контейнера. Поэтому, чтобы определить качественную модель ванны, нет необходимости подробно изучать ее форму. Благо­даря этому задача моделирования часто значительно упрощается, но упрощенная, качественная модель все еще остается приемлемой для достоверного выявления не­которых важных свойств моделируемой системы. Например, если в контейнер по­ступает приток воды, а отток отсутствует, то количество воды будет увеличиваться, а уровень — повышаться. Поэтому когда-то наступит такой момент времени, что уро­вень достигнет края контейнера и вода начнет переливаться через край. Подобное качественное поведение является характерным для всех контейнеров (независимо от того, является ли их форма простой или сложной).

Количество

Уровень

Количество

Уровень

Количество

Уровень

Рис. 20,5. Точное отношени-с между количеством и уровнем ооды зави­сит от формы контейнера. Но количество воды всегда является мо­нотомно возрастающей функцией от уровня

Аналогичным образом, может оказаться сложным точное отношение между отто­ком Outflow и уровнем Level. Но с качественной точки зрения можно констатиро­вать, что это отношение является монотонно возрастающим.

Типы ограничений, которые будут использоваться в рассматриваемых качествен­ных моделях, приведены в табл. 20.2. В модели с ванной применяются следующие ограничения:

Глава 20, Качественные рассуждения

Щ[ Amount, Level)

Ko (Level, Outflow)

эпш(Outflow, Netflow, Inflow)

deciv[ Amount, Netflow}

Inflow = constant = inflow/std

Таблица 20.2, Типы качественных ограничений