Математические софизмы

Авторы: Масло Ксения Олеговна и

Малиновская Наталья Владимировна

учащиеся 8«А» класса

Руководитель: Букштунович Инна Николаевна,

учитель математики

 

Софи́зм (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — ложное высказывание, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Да, софизмы называли ложной мудростью, но все-таки мудростью.

Любой софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. Существует огромное множество разных видов софизмов. И математические софизмы – всего лишь небольшая их часть.

Цель нашего исследования: узнать что такое математические софизмы и научиться их решать, через разбор математических софизмов развивать свои умения и навыки критического и логического мышления.

Задачи исследования:

- Узнать что такое софизм и какова их роль в развитии математики;

- Установить связь между софистикой и математикой;

- Произвести классификацию найденных софизмов;

- Учиться применять полученные умения на практике, на уроках, а также самостоятельно конструировать свои знания и умения, уметь ориентироваться в информационном пространстве.

Мы считаем эту тему актуальной, потому что софизм — это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга и в наше время, как и тысячелетия назад.

В ходе выполнения работы нам было интересно узнать, что некоторые заведомо ложные утверждения, оказывается, можно доказать. В процессе исследования мы выяснили, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой, так и то, что прямой угол равен тупому.

Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов, которые жили в Древней Греции (V—IV вв. до новой эры). Эта философия их обосновывала и оправдывала. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов. Причём наиболее известные и интересные из софизмов были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Вообще принято считать, что термин «софизм» впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.

В качестве примера типичного софизма, известного еще во време­на Аристотеля, можно привести со­физм «ЛЕКАРСТВО»: «Лекарство, принимаемое боль­ным, есть добро. Чем больше добра, тем лучше. Значит, принимать лекарства нужно как можно больше».

Софизмы можно классифицировать на:

Ø Логические софизмы

Ø Математические софизмы

· Арифметические

· Алгебраические

· Геометрические

Арифметические софизмы– это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

«Дважды два – пять».

Доказательство: Пусть исходное соотношение - очевидное равенство: 4:4= 5:5 (*).

Вынесем за скобки общий множитель каждой чести (*) равенства, и мы получим:

4·(1:1)=5·(1:1) (**) Тогда разложим число 4 на произведение 2 ·2.

Получаем (2·2)· (1:1)=5·(1:1) (***)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (**) устанавливаем: 2·2=5.

Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в уравнение (**)

Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

«Любое число рав­но 0».

Доказательство: Рассмотрим сумму: а - а + а - а + а - а + а -...

Эту сумму можно представить двояко:

(а-а) + (а-а) + (а-а) +... =0 или а-(а-а)-(а-а)-(а-а)-... =а.

Левые части этих выражений равны, значит, равны и правые, и, следовательно, а - 0.

Ошибка: В первом выраже­нии рассматривается четное количе­ство слагаемых, а во втором — не­четное, поэтому результаты отлича­ются на а.

Геометрические софизмы основаны на ошибках связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними.

«Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».

Доказательство: Пусть а длина спички и b - длина столба. Разность между b и a обозначимчерез c. Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножим два этих равенства по частям, находим: b² - ab = ca + c². Вычтем из обеих частей bc. Получим: b²- ab - bc = ca + c² - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Ошибка заключается в том,что вравенстве выражений b(b-a-c)=-c(b-a-c)

производится деление на 0

Итак, софизм – это изобре­тение человеческого разума, с помо­щью которого можно доказать всё, что угодно. Впрочем, и опровергнуть можно тоже всё. Недаром вели­кий русский ученый И. П. Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию».

Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. Существует огромное множество разных видов софизмов. И математические софизмы – всего лишь небольшая их часть. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.

Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться и всматриваться, например в софизме «Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру» нам пришлось долго искать ошибку. Теперь, к концу работы над исследованием ошибки нам стали находиться быстрее. Мы считаем, что хорошо развитое логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной жизни. Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Им можно заниматься как целенаправленно, так и в свободное время для собственного удовольствия, как например решение сканвордов или судоку.

Вот такие они софизмы и вот такая она – софистика. И в ней есть своя логика, может, это не логика с большой буквы, но хотя бы своя софистическая логика. А это достойно того, чтобы к этой логике приглядеться, хотя она и замешана на логических ошибках. Но ведь логика изучает законы не только правильного, но и неправильного мышления. Ибо нельзя познать ис­тину, не познав ложь, как нельзя постичь добро, не ведая зла. В мире все так: свет соседствует с тенью, жизнь – со смертью, а ис­тина – с ложью.

Мы пришли к выводу, что математические софизмы развивают наблюдательность и вдумчивость, приучают тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за законностью выполняемых операций. Ну, и, наконец, разбор софизмов просто увлекателен – это изящная гимнастика для ума любого человека.