Домашнее задание

1) и 2) в тексте лекции.
3) Пользуясь первым свойством, вычислить первые 15 чисел Фибоначчи.
4) Пользуясь вторым свойством, вычислить любое число Фибоначчи не меньше 25-го.
5) Проверьте на практике свойства чисел ряда Фибоначчи 4-9. Приведите примеры. Доказательств приводить не надо.

К этому уроку можно выполнить курсовую работу на тему:
"Доказать 3 любых свойства (2-11) чисел ряда Фибоначчи"

 

Чи́сла Фибона́ччи — последовательность целых чисел , заданная с помощью рекуррентногосоотношения

.

Последовательность чисел Фибоначчи начинается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 … (Шаблон:OEIS)

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n. Ряд, соответствующий определению чисел Фибоначчи : …, −55, 34, −21, 13, −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, …

<tr><th> </td><td>-55</td><td>34</td><td>-21</td><td>13</td><td>-8</td><td>5</td><td>-3</td><td>2</td><td>-1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>5</td><td>8</td><td>13</td><td>21</td><td>34</td><td>55</td></tr> </table> Легко видеть, что . Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств (но не все!).

n</td><td>-10</td><td>-9</td><td>-8</td><td>-7</td><td>-6</td><td>-5</td><td>-4</td><td>-3</td><td>-2</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td>

 

Содержание [показать]

Формула Бине Править

Формула Бине выражает в явном виде значение как функцию от :

,

где — золотое сечение. При этом и являются корнями квадратного уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех , есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, справедлива асимптотика .

Тождества Править

§

§

§

§

§

§

§

§ Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть

, а также ,

где матрицы имеют размер , — мнимая единица.

§ Для любого n,

Эта формула даёт быстрый алгоритм вычисления чисел Фибоначчи.

§ Подсчёт определителей даёт

Свойства Править

§ Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. . Следствия:

§ делится на тогда и только тогда, когда делится на (за исключением ). В частности, делится на (то есть является чётным) только для ; делится на только для ; делится на только для и т. д.

§ может быть простым только для простых (с единственным исключением ) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — . Неизвестно, бесконечное ли количество чисел Фибоначчи являющихся простыми.

§ Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, еёхарактеристический многочлен имеет корни и .

§ Отношения являются подходящими дробями золотого сечения и, в частности, .

§ Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

.

§ В 1964 J. H. E. Cohn доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: , , , . При этом для n=0,1,12 верно утверждение .

§ Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

§ Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений полинома

,

на множестве неотрицательных целых чисел и (P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p.193).

§ Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

§ Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60. Если от каждого числа брать по две последние цифры, то они образуют последовательность с периодом, равным 300. Если брать по три последние цифры — с периодом 1500, по четыре — с периодом 15000, по пять — с периодом 150000, по шесть — с периодом 1500000.