Свойства чисел ряда Фибоначчи

Обнаружено много интересных соотношений между числами ряда Фибоначчи:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

1) Принцип образования членов этого ряда приводит к следующему соотношению между любыми его тремя рядом стоящими членами S_{n -2}, S_{n -1} и S_n:

 

S_n = S_{n -1} + S_{n -2}.

Эта формула дает возможность по первым двум членам ряда установить его третий член, по второму и третьему - четвертый, по третьему и четвертому - пятый и т. д.

2) Интересно было бы уметь сразу получить любой член ряда S_n, зная лишь номер n его места. Оказывается, это вполне возможно, но здесь мы столкнемся с одной из удивительных неожиданностей, которые нередки в математике.
Любой член ряда Фибоначчи - число целое, номер места - тоже число целое. Естественно было бы ожидать, что любой член ряда S_n получается в зависимости от номера и занимаемого им места при помощи действий только над целыми числами (например, как в прогрессиях). Но это не так. Не только целые числа, но даже все целые и дробные (рациональные) бессильны образовать интересующую нас формулу.
Из затруднительного положения помогают выйти два иррациональных числа:

 

и

Так вот, если n - номер места, то любой член S_n ряда Фибоначчи вы можете получить по формуле:

 

3) Зная, как любой член S_n ряда Фибоначчи определяется по номеру n занимаемого им места:

 

, где и

легко доказать, что любая пара соседних чисел ряда Фибоначчи S_n и S_n+1 удовлетворяет одному из уравнений x ²- xy-y ²=±1, причем, если y=S_n, то x=S_{n +1}.

4) Очень забавный вид у формулы для суммы n членов ряда Фибоначчи:

 

S ₁ + S ₂ +... + S_n = S_{n +2} - 1

Сумма n первых членов ряда Фибоначчи на 1 меньше (n +2) -го члена того же ряда.
5) Сумма квадратов чисел ряда Фибоначчи выражается через произведение двух соседних членов того же ряда:

 

S ₁² + S ₂² +... + S_n ² = S_n · S_{n +1}

Доказательство этого свойства - тема для курсовой работы.
6) Квадрат каждого члена ряда Фибоначчи, уменьшенный на произведение предшествующего и последующего членов, дает попеременно то +1, то -1.

 

S_n ² - S_{n -1}· S_{n +1} = (-1) ^{n +1}.

7) S ₁ + S ₃ +... + S _{2 n -1} = S _{2 n} .

8) S ₂ + S ₄ +... + S _{2 n} = S _{2 n +1} - 1.

9) В ряду Фибоначчи каждое третье число - четное, каждое четвертое делится на 3, каждое пятое - на 5, каждое пятнадцатое - на 10.

10) Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи.

11) Если взять любые 4 последовательных числа ряда Фибоначчи и рассматривать произведение крайних членов и удвоенное произведение средних - как длины катетов прямоугольного треугольника, то длиной его гипотенузы будет один из членов этого ряда:

 

(a_n· a_{n +3})² + (2 a_{n +1}· a_{n +2})² = a ²_{2 n +3}.

Устали? тогда все.