Первым замечательным пределом называется
.
Вторым замечательным пределом называется
его можно записать в другом виде: 
,
где e» 2.718281…- число Эйлера.
На практике также используются формулы для пределов последовательности:
Используются на практике и формулы вида:
, в частности, 
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах.
В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.
Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100×(1+1/3)3»237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100 × (1 +1/10)10» 259 (ден. ед.),
100 × (1+1/100)100» 270 (ден. ед.),
100 × (1+1/1000)1000» 271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что
Пример. Найти предел последовательности, заданной общим членом 
.
Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем xn, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:
.
Пример. 
. Найти 
.
Решение. 
.
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример. Найти ( 
).
Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥. Преобразуем формулу общего члена:
.
Пример. Найти 
.
Решение. Имеем: 
. Обозначим t = 5x. При x®0 имеем: t®0. Применяя формулу первого замечательного предела, получим 
.
Пример. Вычислить 
.
Решение. Обозначим y=p-x. Тогда при x®p, y®0.Имеем:
sin 3x = sin 3(p-y) = sin (3p-3y) = sin 3y и sin 4x = sin 4(p-y) = sin (4p-4y)= - sin 4y.
.
Пример. Найти 
.
Решение. Обозначим arcsin x =t. Тогда x=sin t и при x®0 t®0. 
.
Пример. Найти 1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение.
1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: 
.
Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: 
.
2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:
Так как 
, то по теореме о пределе частного найдем
3. Числитель и знаменатель при x®¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:
.
Пример. Найти 
.
Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: 
, x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида 
.
Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения 
, получим
.
Пример. Найти 
.
Решение. 
.
