Предел числовой последовательности

Пределы и непрерывность

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность { a_n }:

.

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: .

Числа называются членами последовательности, а число a_n – общим членом данной последовательности.

Примеры: 2,4,6,8,…,2n,…- монотонная, неограниченная.

1,0,1,0,… - немонотонная, ограниченная.

- немонотонная, ограниченная. Рассмотрим эту последовательность подробнее. Изобразим ее члены точками числовой оси.

Можно заметить, что члены последовательности с ростом n сколь угодно близко приближаются к 1. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше:

, , , ,…, ,…,

то есть с ростом n величина будет меньше любого сколь угодно малого положительного числа.

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности { a_n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер N (зависящий от e), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство

.

Записывают это следующим образом: или a _n ® A при n®¥.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Геометрический смысл предела числовой последовательности состоит в том, что точки a_n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (A-e, A+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.