Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.
Пусть дана функция f(x) и пусть A - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от A. Точка A может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение. Число А называется пределом функции y=f(x) при x®¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 найдется такое положительное число S>0 (зависящее от e), что для всех x, таких, что 
, верно неравенство
.
Этот предел обозначается 
.
Геометрический смысл: неравенство равносильно двойному неравенству 
, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2e.
