Распределение Гаусса

Наиболее часто применяемое распределение ошибок – нормальное, или распределение Гаусса. Предположения:

1) искомая величина может принимать непрерывный ряд значений от до ,

2) центр распределения – одновременно его центр симметрии,

3) увеличению отклонения от центра соответствует уменьшение вероятности обнаружить его ( в данном .

Формула для распределения Гаусса .

Максимальное значение плотности вероятности . Зависимость от значения показана на рис.2:

Максимальное значение соответствует среднему значению . Поэтому его называют наиболее вероятным значением измеряемой величины.

С увеличением увеличивается вероятность больших ошибок, а значит, уменьшается . ( разброс результатов).

Каждому распределению соответствует доверительный интервал (на рис. 3 от до ), где произвольное отклонение от среднего значения . Его называют полушириной доверительного интервала.

Рис.3

Интегралы от функции Гаусса для разных пределов интегрирования вычислены и представлены в справочной литературе. Они определяют вероятность попадания результата во всю область значений . Для области от до + интеграл равен единице (достоверный факт, в этом интервале есть).

Обычно распределение характеризуют не самой полушириной , а относительной величиной . Именно она используется для определения погрешности многократных измерений. Вероятность того, что значение попало в доверительный интервал, обозначают . Она называется доверительной вероятностью. В таблице для величин указывается и . Так, при , т.е. при , получается , т.е. результатов находится в доверительном интервале.

Наиболее часто используются значения , приведённые в таблице:

	0,68	0,95	0,997

Для определения погрешности результатов многократных измерений используют не ошибку отдельного наблюдения, а ошибку среднего значения:

, тогда погрешность случайной величины

и окончательный результат записывают в виде:

при ,

где коэффициент Стьюдента, зависящий и от количества результатов и от доверительной вероятности (вычислены по законам теории вероятности). Его значения приведены в таблице 2 для наиболее часто используемых доверительных вероятностей. Выбор доверительной вероятности зависит от характера измерений. При обычных измерениях можно ограничиться , равной 0,9 или 0,95. Если требования к надёжности результатов предъявляются высокие, то выбирают

Таблица 2

		6,3	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,8	1,8	1,7	1,7
	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,3	2,1	2,1	2,0
	31,8	7,0	4,5	3,7	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	2,4