Метод сечений, напряжения

 

Для определения внутренних сил, возникающих в брусе от действия внешних сил, в сопромате применяется метод сечений.

 

Изучаемый брус мысленно рассекаем плоскостью на две части. Предполагаем, что каждая из частей находится в равновесии под действием внешних сил, приложенных к этой части, и внутренних сил, возникающих в сечении и представляющих собой силы взаимодействия между оставшейся и отброшенной частями. Равнодействующая внутренних сил в сечении называется внутренним усилием. Рассмотрим пространственный брус, находящийся в равновесии под действием внешних сил (рис. 1).

Если брус рассечь плоскостью (использование метода сечений), перпендикулярной оси, т.е. поперечным сечением (рис. 1) и разложить главный вектор и главный момент внутренних сил по осям x,y,z, то на каждой стороне сечения получим шесть внутренних силовых факторов: три силы (N, Qx, Qy) и три момента (Mx, My, Mz).

 

Эти шесть усилий, совместно с внешними силами, действующими на отсеченную часть бруса, должны обеспечить равновесия этой части. Таким образом, для каждой части бруса должны быть выполнены шесть условий равновесия: сумма моментов сил относительно осей координат, сумма проекций сил на оси координат равна нулю. В этом и есть суть метода сечений сопромата.

Усилия, возникающие в сечении бруса, имеют в сопромате следующие наименования:

 

N - продольная сила; Qу, Qх - поперечные силы;

Мz - крутящий момент; Мх, Му - изгибающие моменты.

 

Внутренняя сила (Nz, Qу, Qх) численно равна алгебраической сумме проекций на соответствующую ось бруса всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

 

Момент (Мz Мx Мy) в любом сечении численно равен алгебраической сумме моментов относительно соответствующей оси бруса от всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

 

Графики, показывающие как изменяются внутренние усилия при переходе от сечения к сечению, в сопромате называются эпюрами.

Интенсивность внутренних сил, приходящихся на единицу площади, в сопротивление материалов называется напряжением.

Допустим, что около некоторой точки поперечного сечения бруса, выделена элементарная площадка dА (рис.2). Равнодействующая внутренней силы, действующая на данной площадке, равна dR.. Проекциями dR на оси будут dN, dQy и dQx.

Разделив величины dN, dQy и dQx на площадь dA, получим величины продольных и попе-

речных сил, приходящихся на единицу площади:

 

 

Их измеряют в единицах напряжения - паскалях (Па) и кратных ему - (кПа и мПа)

Полное напряжение в данной точке рассматриваемого сечения:

Сила - величина векторная, следовательно, и напряжение – вектор того же направления.

Между напряжениями и деформациями существует зависимость. В случае упругой деформации эта зависимость выражается законом Гука.

 

Закон Гука при линейной деформации (растяжение или сжатие) выражает прямолинейную зависимость между нормальными напряжениями и относительными деформациями.

 

 

При угловой деформации (сдвиг) существует прямолинейная зависимость между касательными напряжениями и углами сдвига: т = уе.

В этих выражениях Е и G - коэффициенты пропорциональности,

характеризующие упругие свойства материалов:

Е - модуль нормальной упругости или модуль Юнга;

G - модуль упругости при сдвиге или модуль сдвига;

е - относительная продольная деформация;

у - относительная угловая деформация.