Классификация точек множества

Определение 1. Для любого - окрестностью точки называется множество

.

В случае , а в случае .

Определение 2. Проколотой -окрестностью точки называется множество, получающееся удалением точки из ее -окрестности:

.

Определение 3. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность , целиком принадлежащая .

Определение 4. Точка называется граничной точкой множества , если в каждой ее окрестности существуют точки как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие множеству .

Определение 5. Точка называется точкой прикосновения множества , если в каждой ее окрестности существует хотя бы одна точка, принадлежащая множеству .

Если точка прикосновения является одной из бесконечностей: , или , то она называется бесконечно удаленной точкой прикосновения.

Очевидно, что все элементы числового множества являются его точками прикосновения. Точками самого множества не исчерпываются, вообще говоря, все его точки прикосновения: могут существовать точки прикосновения и не принадлежащие ему. Например, точки и являются точками прикосновения интервала и не содержатся в нем.

Определение 6. Точка называется предельной точкой множества , если в каждой ее проколотой окрестности существует хотя бы одна точка, принадлежащая множеству .

Предельная точка всегда является точкой прикосновения, но не наоборот. Для множества рациональных чисел предельной является каждая точка R, так как в любом интервале вещественных чисел имеются рациональные числа.

Определение 7. Точка называется изолированной точкой множества , если у нее существует окрестность, не содержащая других точек множества , кроме самой точки .

Пример. Рассмотрим множество . Для этого множества:

0, 1, 5 – граничные точки;

и – точки прикосновения;

– предельные точки;

5 – изолированная точка.