Лекция №4
Определение 1. Числовое множество 
называется ограниченным сверху (снизу), если существует число 
(
) такое, что для всех 
выполняется неравенство 
(
).
Определение 2. Числовое множество, которое ограничено и сверху и снизу, называется ограниченным. Примерами ограниченных числовых множеств являются отрезок, интервал, полуоткрытый промежуток.
Число 
(
) называется верхней (нижней) границей множества .
Определение 3. Наименьшая из верхних границ непустого ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью этого множества и обозначается 
(supremum).
Теорема 1. Непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, притом единственную.
Теорема 2. Для того чтобы число 
было точной верхней гранью непустого числового множества , необходимо и достаточно, чтобы:
1) для всех выполнялось неравенство 
;
2) для любого действительного числа 
нашлось такое , что 
.
Определение 4. Наибольшая из нижних границ непустого ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается 
(infimum).
Теорема 3. Непустое множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань, притом единственную.
Теорема 4. Для того чтобы число 
было точной нижней гранью непустого числового множества , необходимо и достаточно, чтобы:
1) для всех выполнялось неравенство 
;
2) для любого действительного числа нашлось такое , что 
.
Пример 1. Пусть 
, 
и 
, тогда
и 
.
Этот пример показывает, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.
Пример 2. Пусть 
. Докажем, что 
, 
.
Решение. Для любого натурального числа 
имеем 
, а потому 1 – одна из верхних граней для 
. Предположим теперь, что 
. Тогда найдется такое 
, что 
. С другой стороны, 
, а потому при 
имеем 
. Из этого неравенства следует, что 
. Мы нашли, таким образом, элемент 
, такой, что 
. Итак, для множества и числа 1 выполнены оба сформулированных выше утверждения, и потому . Само число 1 не принадлежит .
Далее, имеем 
. Отсюда видно, что при увеличении разность 
увеличивается. Значит, наименьшее значение разности достигается при 
, и это значение равно 
. Таким образом, – наименьший элемент множества , а потому .
