МДК.01.04. Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания
Элементы логики
Группа __________________
Ф. и. _______________
Лекция 1
«Математические понятия, их определение»
Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова “предмет” говорят “геометрическая фигура”. Вообще, математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.
Объем и содержание понятий
Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.
Содержание понятия – это множество всех существенных свойств.
Рассмотрим понятие «квадрат»
| К |
Графически это можно изобразить с помощью кругов Эйлера
Рассмотрим понятие «прямоугольник»
| П |
Графически это можно изобразить с помощью кругов Эйлера
| Содержание понятия «квадрат» | Содержание понятия «прямоугольник» | |
| иметь четыре прямых угла | иметь четыре прямых угла | |
Закон обратного отношения
• Чем уже объем понятия, тем шире его содержание;
• Чем шире объем понятия, тем уже его содержание.
Отношения между понятиями
Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.
Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита – a,b,c,…..z.
Рассмотрим несколько ситуаций.
| Понятия | Графическое изображение объемов понятий | Отношение между объемами понятий | |
| a- «квадрат» и b- «прямоугольник» | А ÌВ | ||
| a- «прямоугольник с равными сторонами» и b- «квадрат» | А=В | ||
| a- «прямоугольник» и b- «ромб» | А пересекает В | ||
| a- «прямоугольник» и b- «трапеция» | А не имеет общих элементов с В |
Пусть заданы два понятия a и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.
1. Если А ÌВ, то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b - родовое по отношению понятия а.
Например: а – понятие “ квадрат ”, а b- понятие “прямоугольник ”. АÌВ. Поэтому можно утверждать, что понятие “прямоугольник”- это …………… понятие по отношению к понятию “ квадрат”, а понятие “ квадрат”- это ……………. Понятие по отношению к понятию “прямоугольник”.
- Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия.
- Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так для понятия прямоугольник родовыми понятиями являются понятия “четырехугольник”, “многоугольник”, “параллелограмм”. Среди них можно указать ближайший. Это “параллелограмм”.
- Понятие рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие “параллелограмм” является родовым по отношению к понятию “прямоугольник ”, и видовым по отношению к понятию “четырехугольник”.
2. Если А=В, то говорят что понятия а и b тождественны.
3. Если А пересекает В, то а и b- совместимы.
4. Если А не имеет общих элементов с В, то а и b несовместимы.
