Властивості мішаного добутку векторів

1. Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю (), тобто

(3)

- умова компланарності трьох векторів.

Властивості 2 і 3 випливають з того, що парна перестановка рядків визначника не змінює його знак, а непарна змінює на протилежний.

Об’єм піраміди, побудованої на векторах дорівнює об’єму відповідного паралелепіпеда, тобто

З двох знаків «» вибираємо такий, щоб об’єм V був невідємним.

Приклад. Знайти об’єм піраміди з вершинами в точках А(0,-5,1), В(4,1.0), С(2,5,2) і S(3,-1,7).

Розв’язання. Знайдемо вектори

Обчислимо мішаний добуток векторів

,

.

Приклади для самостійного розв’язання:

1. Дано вектори Необхідно: 1) Знайти спочатку векторний добуток , а тоді скалярний ; 2) обчислити за формулою (2); 3) обчислити .
2. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах
3. Знайти об’єм піраміди побудованої на векторах , , .
4. Обчислити об’єм піраміди з вершинами в точках А(2,-3,5), В(0,2,1), С(-2,-2,3) і D(3,2,4).
5. Обчислити висоту AM піраміди АВСD, яка опущна з точки А на площину BCD, якщо вершини піраміди містяться в точках А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), Д(3,4,-3).
6. Встановити, чи компланарні вектори:

1)

2)

1. З’ясувати, чи лежать точки А(3,0,0), В(1,1,8), С(2,1,6), D(3,1,4) в одній площині.
2. Довести, що вектори лінійно залежні та виразити лінійно через і .

Відповіді: 1. 111. 2. 72. 3. 12. 4. 6. 5. . 6. 1) так; 2) ні.

7. Так. 8. .