Гармонические колебания. Рассмотрим колебания описываемые уравнением

Рассмотрим колебания описываемые уравнением . Общее решение этого однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищется в виде

,

где - произвольные постоянные, обусловленные начальными условиями.

В том, что это соотношение удовлетворяет дифференциальному уравнению легко убедиться, подставив в него предполагаемую функцию и ее вторую производную по t, . График гармонического колебания представлен на рисунке 45.

Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Величина называется фазой колебания, а - начальная фаза. С изменением начала отсчета времени будет изменяться и начальная фаза.

Периодом колебания называется промежуток времени в течение которого фаза колебания изменяется на , т.е. система совершает одно полное колебание, . Тогда для:

пружинного маятника - , 7.4

физического маятника - , 7.5

математического маятника - . 7.6

Дифференцируя уравнение по времени можно найти выражения для скорости и ускорения тела при гармоническом колебании:

. 7.7

При гармоническом колебании кинетическая энергия , и потенциальная энергия также изменяются по гармоническому закону (рис. 45).

Квазиупругая сила является консервативной силой и поэтому полная механическая энергии колеблющейся системы остается величиной постоянной (рис. 45).

. 7.8

Выясним теперь, как изменяется кинетическая и потенциальная энергия системы. Так как и получим:

, 7.9

т.е. кинетическая и потенциальная энергия изменяются с удвоенной частотой.