Малые колебания

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Согласно второму закону Ньютона, в одномерном случае, получим . В случае гармонического осциллятора и тогда .

Если ввести обозначение , то последнее выражение можно преобразовать к виду

. 7.4

Это уравнение описывает движение одномерного гармонического осциллятора. Величина называется собственной частотой колебаний системы.

Рассмотрим некоторые примеры.

а) Пружинный маятник.

Пусть груз массой подвешен к пружине с жесткостью . В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой упругости пружины (рис. 42), т.е. .

Направим ось Х вниз, а начало отсчета совместим с положением равновесия системы (рис. 42).

Тогда при смещении груза в положение, координата которого будет равна (рис. 42), на него будут действовать две силы – сила тяжести и сила упругости пружины . Равнодействующая этих сил .

Это означает, что равнодействующая сил тяжести и упругости пружины является квазиупругой силой и колебания груза, подвешенного к пружине, будут описываться уравнением вида .

б) Физический маятник.

Рассмотрим твердое тело, способное совершать колебания относительно оси, не совпадающей с центром масс, так называемый физический маятник (рис. 43).

При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент силы тяжести , стремящийся вернуть маятник в положение равновесия (рис. 43). Подставляя в основное уравнение динамики вращательного движения , получим . Для малых колебаний и тогда полученное уравнение можно преобразовать к виду .

Разделив полученное уравнение на и, обозначив , получим уравнение , которое аналогично полученному ранее.

в) Математический маятник.