Метод вариации произвольных постоянных

Если известна фундаментальная система решений у ₁, у ₂,..., у _n однородного уравнения, то общее решение соответствующего неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа). Этот метод заключается в том, что общее решение неоднородного уравнения можно найти в в том же виде, что и общее решение соответствующего однородного уравнения:

у = С₁(х) у ₁ + С₂(х) у ₂ +... +С _n (х) у _n,

где у ₁, у ₂,..., у _n — линейно независимые частные решения однородного уравнения, а функции С₁(х), С₂(х),..., С _n (х) находят из системы уравнений:

Система всегда имеет решения, т.к. её определитель является определителем Вронского, а W (x) ¹ 0.

Пример 1. Найти общее решение уравнения    

y ' + x ∙ y '' = x ².

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка. Решим его методом вариации произвольных постоянных.

1. Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения

x ∙ y '' +   y ' = 0.                                                              

Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, не содержащим искомой функции у. Полагая y ' = z, следовательно, y '' = z, преобразуем уравнение  к виду

x ∙ z ' + z = 0.

Таким образом понизили порядок уравнения на единицу и получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

Þ   Þ   Þ .

Возвращаясь к переменной у, опять получим уравнение с разделяющимися переменными: . Решим его:

Þ   Þ

— общее решение линейного однородного уравнения. Исходя из вида полученного общего решения, можно допустить, что , у ₂ = 1 — частные решения уравнения

2. Найдём общее решение данного линейного неоднородного уравнения  в виде:

.                                                       

Для нахождения функций С ₁(х), С ₂(х) составим систему уравнений:

                                          

Заметим, что если разделить исходное уравнение  на х ¹ 0, получим уравнение

.                                                              

Тогда f (x) = х, , у ₂ = 1 и система (21) примет вид:

Þ

Последовательно дифференцируя уравнение  два раза и учитывая равенства системы, получим:

;

.

Подставив эти выражения вместо y ', y ''   в исходное уравнение (22), получим

.

Откуда   Þ   Þ .

Первое уравнение системы (21) примет вид .

Интегрируя его, получим .

Таким образом, подставляя найденные значения функций С ₁(х), С ₂(х) в уравнение (20), получим общее решение данного линейного неоднородного уравнения (18):

,

где С ₁, С ₂ — произвольные постоянные.

Заметим, что при х = 0 исходное уравнение (18) принимает вид y ' = 0. Откуда получим частное решение: у = С.

 

Пример 2. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением третьего порядка. Решим его методом вариации произвольных постоянных.

1. Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения

.

Данное уравнение является линейным однородным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое уравнение

.

Его корни k ₁= 1, k ₂= – 1, k ₃= 2 — простые действительные числа (п. 2.3, случай 1). Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

у = С ₁ е ^x + C ₂ е ^-х  + C ₃ е ^2х.

Исходя из вида общего решения, можно допустить, что у ₁ = е^х, у ₂ = е ^-х, у ₃ = е ^2х — частные решения однородного уравнения.

2. Найдём общее решение данного линейного неоднородного уравнения в виде

у = С ₁(х) е ^x + C ₂(х) е ^–х  + C ₃(х) е ^2х.                                             (23)

Для нахождения функций С ₁(х), С ₂(х), С ₃(х)составим систему уравнений (17). Она примет вид

Þ

Þ

Решая систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, например методом Гаусса, получим:

, , .

Интегрируя эти выражения, найдём:

;

;

.

Таким образом, подставляя найденные значения функций С ₁(х), С ₂(х), С ₃(х) в уравнение (23), получим общее решение данного линейного неоднородного уравнения:

у = е ^x + е ^-х + е ^2х =
= С ₁ е ^x + C ₂ е ^-х + C ₃ е ^2х + ,

где С ₁, С ₂, С ₃ — произвольные постоянные.

 

Задания для самостоятельного решения

Проинтегрировать методом вариации произвольных постоянных следующие уравнения:

1. .	2. .
3.	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9.	10.
11. .	12. .
13. .	1 4. .
15. .	1 6. .
17. .	18. .
19. .	20. .
21. .	22. .
23. .	24. .
25. .	26. .
27. .	28. .
29. .	30. .
31. .	32.