Частные производные функции двух переменных

Определение. Число называется пределом функции двух переменных в точке , если для любого положительного числа существует положительное число , зависящее от , такое что для всех точек отстоящих от точки на расстоянии выполняется неравенство . Обозначение: .

Рассмотрим изменение функции при изменении только одной переменной, например, ; при этом другая переменная остается фиксированной

- частное приращение функции по переменной . Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

Определение. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Пусть , тогда , .

Замечание. Так как частная производная функции 2-х переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при постоянном значении другой переменной, то вычисляют частные производные по формулам и правилам дифференцирования функции одной переменной.

Пример. Найти частные производные функций а) , б) .

Решение. а) , . б) , .

Правило. Производная вычисляется при фиксированном значении , а производная вычисляется при фиксированном значении .

Определение. Пусть функция имеет частные производные и , которые также являются функциями двух переменных и . Частные производные от этих функций называются частными производными второго порядка от функции . Каждая производная первого порядка имеет две частные производные. Таким образом, мы получаем 4 частные производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

,	,
,	.

Определение. и называются смешанными производными функции .

Экстремум функции двух переменных

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство: , .

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка - есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Терема (достаточное условие экстремума). Пусть функция :

а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ,

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка , , .

Тогда, если , то в точке функция имеет экстремум, причем если (или ) – максимум, если (или ) - минимум. В противном случае функция экстремума не имеет. Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Схема исследования функции двух переменных на экстремум:

1) Найти частные производные функции и .

2) Решить систему уравнений и и найти критические точки функции.

3) Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4) Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Исследовать функцию на экстремум. Решение. Находим частные производные: , . Критические точки функции находим из системы уравнений: Решая систему, имеем одну критическую точку . Находим частные производные второго порядка: , , . Составляем . Так как и , то точка есть точка минимума.

17. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).

Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов

Пусть зависимость между двумя переменными выражается в виде таблицы (полученной опытным путем):

х	x₁	X₂	…	х_i	…	x_n
y	y₁	Y₂	…	y_i	…	y_n

Требуется наилучшим образом заменить табличную функцию некоторой аналитической функцией, значения которой возможно мало отличались бы от опытных данных.

Определение. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, называются эмпирическими формулами.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов.

1 этап. Необходимо установить вид зависимости , т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической, экспоненциальной или какой-либо другой.

Для выбора функции привлекают дополнительные соображения (опыт предшествующих исследований, теоретические выводы и т.д.).

Предположим, что 1 этап завершен (вид функции установлен).

2 этап. Определение неизвестных параметров функции.

Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов невязок , или отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле , от соответствующих эмпирических значений , т.е.

была минимальной. (8.1)

Пусть в качестве функции взята линейная функция и задача сводится к отысканию таких параметров и , при которых функция (8.1) принимает наименьшее значение.