Признаки возрастания и убывания функции.

Определение. Функция  называется возрастающей на интервале , если для любых точек  из этого интервала при выполнении условия  выполняется неравенство  (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Определение. Аналогично, функция  называется убывающей на интервале , если для любых точек  из этого интервала при выполнении условия  выполняется неравенство  (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающие на интервале  и убывающие на интервале  функции называются монотонными на интервале .

Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой на интервале  функции  положительна на интервале , то функция  монотонно возрастает на этом интервале.

Доказательство. Зафиксируем любые точки  на интервале  такие, что .

Тогда по следствию из теоремы Лагранжа , где . По условию на всем интервале , то есть , следовательно, . Таким образом,  действительно возрастает на , что и требовалось доказать.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой на интервале  функции  отрицательна на интервале , то функция  монотонно убывает на этом интервале.

Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что на интервалах убывания функции касательные к графику функции образуют с осью  тупые углы, а на интервалах возрастания – острые (см. рис. 4).

Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции .

1. Найти .
2. Найти нули производной.
3. На числовой оси отметить область определения , нули производной и те точки, где производная не существует.
4. На каждом из полученных интервалов определить знак производной .
5. Сделать вывод о возрастании или убывании функции  на каждом интервале.

Пример. Пусть . Найдем . Далее,  при  и при . Имеем, что  при  и при , и  при . Это значит, что при  и при  функция  возрастает, а при  функция убывает.

 

 

12. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).

Определение. Точка  называется точкой максимума функции , если существует некоторое число  такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполнено неравенство .

Максимум функции – это значение функции в точке максимума.

На рис 5 показан пример графика функции, имеющей максимумы в точках .

Определение. Точка  называется точкой минимума функции , если существует некоторое число  такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполнено неравенство . На рис 5 функция имеет минимум в точке .

Для максимумов и минимумов есть общее название – экстремумы. Соответственно точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Очевидно, что функция, определенная на отрезке, может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

В точках экстремума у производной есть особые свойства.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть в точке  функция  имеет экстремум. Тогда либо  не существует, либо .

Доказательство. Предположим, что функция  имеет в точке  максимум.

Тогда при достаточно малых  при любом знаке  верно неравенство: , т.е. .

Тогда:            и   .

По определению производной в точке :  (если такой предел существует). Т.е. если , но , то , а если , но , то . Возможно это только в тех случаях, если  или если  не существует. Теорема доказана.

Те точки из области определения функции, в которых  не существует или в которых , называются критическими точками функции.

Таким образом, из только что доказанной теоремы следует, что точки экстремума лежат среди критических точек. В общем случае критическая точка не обязана быть точкой экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример. Рассмотрим . Имеем , но точка  не является точкой экстремума (см. рис 6).

 

 

13. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).