Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.

Оглавление

1. Предел последовательности и предел функции. Признаки существования предела. 3

2. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах. 4

3. Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины.. 5

4. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах. 6

5. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 7

6. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. 8

7. Дифференцируемость функций одной переменной. 9

8. Основные правила дифференцирования функций одной переменной. 10

9. Формулы производных основных элементарных функций. Производная сложной функции. 11

10. Теоремы Ролля и Лагранжа. Геометрическая интерпретация этих теорем. 12

11. Достаточные признаки монотонности функции. 13

12. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума. 14

13. Достаточные признаки существования экстремума. 15

14. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. 16

15. Общая схема исследования функций и построения их графиков. 17

16. Функции нескольких переменных. Частные производные. 18

17. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. 19

18. Дифференциал функции и его геометрический смысл. 20

19. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. 21

20. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. 22

21. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов. 23

1. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).

Предел числовой последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :

Другими словами, числовая последовательность - это функция натурального аргумента: .

Числа называются членами последовательности, а число - общим или -м членом данной последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

1) (монотонная, неограниченная),

2) (не монотонная, ограниченная)

Рассмотрим числовую последовательность , изобразив ее точками на числовой оси (рис.4.1):

Видно, что члены последовательности с ростом как угодно близко приближаются к 0. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше.

Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство:

Обозначают: . Или при .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Предел функции в бесконечности и в точке

Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство:

Это предел функции обозначается: или при .

Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .

Предел функции в точке: Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Это предел функции обозначается: или при .

Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа .

Признаки существования предела

Теорема 1. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при (или ), то функция имеет тот же предел .

Пусть при , .

Это означает, что для любого найдется такое число , что для всех и удовлетворяющих условию будут верны одновременно неравенства:

(1.1)

или

Т.к. по условию функция заключена между двумя функциями, т.е.:

, то из неравенств (1.1) следует, что , т.е.:

А это и означает, что

2. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать).

Предел функции в точке

Это предел функции обозначается: или при .

Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть и - функции, для которых существуют пределы при (): , .

Сформулируем основные теоремы о пределах:

1) Функция не может иметь более одного предела.

Предположим противное, т.е. что функция имеет 2 предела А и D, . Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при (). Вычитая почленно эти равенства, получим: , откуда . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства 1 бесконечно малых это величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.

2) Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

3) Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

По условию и , следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при (). Перемножая почленно оба равенства, получим:

На основании свойств бесконечно малых последние три слагаемые представляют величину, бесконечно малую при ().

Итак, функция представляет сумму постоянного числа и бесконечного малой . На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых с пределами функции это означает, что .

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.

, .

5) Если , , то предел сложной функции

6) Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то

3. Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно малых (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми.

Бесконечно малые величины

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной при или при , если ее предел равен нулю:

Связь бесконечно малых величин с пределами функций

Теорема 1. Если функция имеет при () предел, равный , то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой при (), т.е.

Теорема 2. Если функцию можно представить как сумму числа и бесконечно малой при (), то число есть предел этой функции при (), т.е.

Свойства бесконечно малых величин

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечного малых величин есть величина бесконечно малая.

По условию и - бесконечно малые величины при . Это означает, что для любого найдутся такие числа , что для всех и удовлетворяющих условиям:

и (1.1)

выполняются соответствующие неравенства:

и . (1.2)

Если взять в качестве числа минимальное из чисел и , т.е. , то неравенству будут удовлетворять решения обоих неравенств (1.1), а, следовательно, одновременно будут верны неравенства (1.2). Складывая почленно неравенства (1.2), получим, что;

Используя свойство абсолютных величин, т.е. , придем к более сильному неравенству:

(1.3)

Итак, для любого существует такое , что для всех и удовлетворяющих условию верно неравенство (1.3). А это означает, что функция есть величина бесконечно малая.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в т.ч. на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Отношение двух бесконечно малых (неопределенность вида ) в зависимости от характера изменения переменных в числителе и знаменателе может оказаться или числом, или бесконечно малой или бесконечностью.

Бесконечно большие величины

Определение. Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности:

Свойства бесконечно больших величин

1) Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2) Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3) Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Об отношении или разности двух бесконечно больших функций никакого общего заключения сделать нельзя. В этих случаях говорят о неопределенностях вида или . В зависимости от характера изменения бесконечно больших величин их отношение или разность может оказаться или числом, или бесконечно малой, или бесконечно большой.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при (), то функция является бесконечно большой при (). И, наоборот, если функция бесконечно большая при (), то функция есть величина бесконечно малая при ().

4. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.

Второй замечательный предел.

Определение. Числом (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности :

, где

Прямым вычислением можно убедиться, что , (иррациональное число, число Эйлера).

Если рассмотреть функцию , то при функция имеет предел, равный числу :

Или если , то .

Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопределенности . Однако доказано, что он равен числу . Второй замечательный предел необходимо всегда использовать при раскрытии неопределенности вида .

Число (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в математическом анализе. График функции

Рассмотрим примеры вычисления пределов. Получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом .

Пример. .

Пример. = .

Пример. .

Пример.

Пример. .

5. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.

Непрерывность функции

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) определена в точке , т.е. существует ;

2) имеет конечные односторонние пределы функции при слева и справа;

3) эти пределы равны значению функции в точке , т.е.

Пример. Исследовать функции на непрерывность в точке :

а) , б) .

Решение. а) . При функция определена, , , , т.е. все три условия непрерывности функции в точке выполнены. Следовательно, функция в точке непрерывна.

б) . При функция не определена; ; .

Т.о. в точке функция не является непрерывной, т.к. не выполнены первое и третье условия непрерывности функции в точке.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Определения 1 и 2 равносильны.

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва:

Первого рода – когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу. К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен значению функции в этой точке.

Второго рода – когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

Свойства функций, непрерывных в точке

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента можно получить как угодно малое приращение функции в окрестностях не изменится.

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке . Доказательство состоит в том, что малому приращению аргумента соответствует как угодно малое приращение , приводящее в свою очередь к непрерывности функции к как угодномалому приращению .

Свойство можно записать: ,

Т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Определение. Функция называется непрерывнойна промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Точки разрыва функции

Определение. Если в какой-нибудь точке для функции не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции.

Причем: 1) Если существуют конечные односторонние пределы функции, неравные друг другу: , то точка - точка разрыва I рода.

2) Если хотя бы один из односторонних пределов функции или равен бесконечности или не существует, то точка - точка разрыва II рода.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке. (рис. 1.1)

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (теорема Вейерштрасса). (рис. 1.2)

3. Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что . (Теорема Больцано-Коши.)

Пример. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции . Установить характер разрыва.

Решение. При функция не определена, следовательно, функция в точке терпит разрыв: , а . Так как односторонние пределы бесконечны, то - точка разрыва второго рода.

6. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.

Определение производной

Пусть на некотором промежутке Х определена функция y = f (x). Возьмем любую точку _.Зададим аргументу х произвольное приращение ∆ х ≠ 0 такое, что точка х +∆ х также будет принадлежать Х. Функция получит приращение ∆ у = f (x +∆ х)− f (x).

Определение. Производной функции y = f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции y = f (x) в точке х используются символы у ′(х) или f ′ (x).

Итак, по определению, .

Если для некоторого значения х ₀ выполняется условие

или ,

т.е. пределы равны бесконечности, то говорят, что в точке х ₀ функция имеет бесконечную производную.

Если функция y = f (x)имеет конечную производную в каждой точке , то производную f ′ (x) можно рассматривать как функцию х, также определенную на Х. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Задача о касательной

Пусть на плоскости дана непрерывная функция и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке .

Уравнение прямой по точке

, принадлежащей этой прямой, и угловому коэффициенту имеет вид:

, где

, (

- угол наклона прямой). Из

(рис.5.1) найдем тангенс угла наклона секущей

. Если точку

приближать к точке

, то угол

будет стремиться к углу

, т.е. при

. Следовательно,

Из задачи о касательной следует геометрический смысл производной: производная f ′ (x ₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у= f ′ (x) в точке х ₀, т.е. k = f ′ (x ₀).

Следовательно, уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке х ₀ примет вид

Пример. Найти производную функции f (x)= х ².

Решение. Придавая аргументу х приращение ∆ х, найдем соответствующее приращение функции:

Составим отношение:

Найдем предел этого отношения при ∆ х → 0:

7. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).

Понятие дифференцируемости функции

Определение. Функция y= f (x) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение Δ у в этой точке можно представить в виде

где А – некоторое число, не зависящее от , а α() – функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при →0, т.е.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема. Для того чтобы функция f (x) была дифференцируемой в данной точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью

Пример. Доказать, что функция y =│ х │ недифференцируема в точке х =0.

Решение. Производная функции (если она существует) равна

Очевидно, что при х =0 производная не существует, так как отношение , т.е. не имеет предела при Δ х →0 (ни конечного, ни бесконечного). Геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке х =0.

Теорема. Если функция y= f(x) дифференцируема в точке х₀,, то она в этой точке непрерывна.

□Доказательство. По условия функция y= f (x) дифференцируема в точке х ₀, т.е. существует конечный предел

где f′ (x₀) – постоянная величина, не зависящая от .

Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

где α(∆х) является бесконечно малой величиной при →0, или

При Δ х →0 на основании свойств бесконечно малых величин устанавливаем, что Δ у →0 и, следовательно, по определению непрерывности функции в точке, делаем вывод, что функция непрерывна в токе х₀. ■

Обратная теорема, вообще говоря, неверна, если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Так, функция y =│ х │ непрерывна в точке х₀ =0, ибо но, как было доказано ранее недифференцируема в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие ее дифференцируемости.

Замечание: Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке Х, то функция называется гладкой на этом промежутке. Если же производная функция допускает конечное число точек разрыва, то такая функция на данном промежутке называется кусочно гладкой.

8. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).

Производная функции м.б. найдена по схеме:

1) Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .

2) Находим приращение функции .

3) Составляем отношение .

4) Находим предел этого отношения при , т.е. (если этот предел существует).

Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■

2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим функцию . При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции по схеме:

1) Дадим аргументу приращение . Тогда функции и