Раздел 4. Пересечение геометрических тел

Тема 4-1. Пересечение многогранников (пирамиды с призмой))

Линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную замкнутую линию. В частных случаях эта ломаная может распадаться на две замкнутые ломаные линии. Вершинами ломаной являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Стороны представляют собой отрезки прямых, по которым пересекаются грани многогранников. Построения упрощаются, если вершины и стороны ломаной определяются соответственно как точки и прямые пересечения граней общего положения одного многогранника с проецирующими ребрами и гранями другого.

Рис.76. Пересечение призмы и пирамиды

При построении линии пересечения поверхностей двух пирамид, призмы и пирамиды, двух призм в качестве вспомогательных плоскостей можно использовать плоскости общего положения:

1. две пирамиды – вспомогательные плоскости должны проходить через вершины пирамид;

2. пирамида и призма – вспомогательные плоскости, проходящие через вершину пирамиды параллельно боковым ребрам призмы;

3. две призмы – вспомогательные плоскости, параллельные боковым ребрам обеих призм.

Пересечение пирамиды с прямой призмой. Боковые ребра призмы проецируются в точки, а боковые грани являются горизонтально проецирующими отсеками плоскостей. Поэтому, одна проекция линии пересечения многогранников известна. Точки пересечения пирамиды с призмой легко определяется на горизонтальной проекции. С помощью линии связи строим фронтальные проекции этих точек. Из вертикальных ребер призмы лишь одно пересекает пирамиду. Точки пересечения этого ребра определяем с помощью вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости, проходящей через данное ребро и вершину пирамиды. Соединяем построенные проекции точек, при этом следует руководствоваться горизонтальной проекцией.

Тема 4-2. Пересечение криволинейных поверхностей с многогранниками

Пересечение призмы и цилиндра. Для определения линии пересечения верхнего основания цилиндра с боковыми гранями призмы вводим горизонтальную секущую плоскость λ, проходящую по верхнему основанию цилиндра. Эта плоскость пересекает грань призмы по прямой а, горизонтальная проекция которой пересекает окружность - проекцию верхнего основания цилиндра - в точке В₁. Соединив точку В₁ с точкой A₁ прямой, получим горизонтальную проекцию линии пересечения грани призмы с основанием цилиндра. Ее фронтальная проекция сливается с фронтальной проекцией верхнего основания цилиндра. Найденные фронтальные проекции стальных точек соединяем плавными кривыми и получаем фронтальную проекцию видимой части линии пересечения. Проекция невидимой части симметрична видимой и сливается с ней.

Для построения аксонометрической (изометрической) проекции пересекающихся поверхностей цилиндра с призмой сначала строят изометрические проекции цилиндра и основания призмы (рис.77).

Рис. 77. Пересечение призмы и цилиндра

Потом на нижнем основании цилиндра отмечают точки N'₁, В'₁, C'₁, D'₁ и Е'₁ - вторичные проекции линии пересечения, для чего используют размеры I, II, III и IV. После этого из полученных точек проводят прямые параллельно оси z' и на них откладывают высоты этих точек. Найденные точки В', С", D', Е', F', М' и N' последовательно соединяют двумя плавными кривыми. Пользуясь размером V, определяют точку А' - пересечение ребра призмы с верхним основанием цилиндра - и соединяют ее с точкой В', получают видимую часть линии пересечения. Затем находят невидимую часть линии пересечения и проводят боковые ребра призмы; получают изометрическую проекцию пересекающихся цилиндра с призмой (рис.77).

Построение пересечения конуса и призмы.

Призма занимает проецирующее положение по отношению к фронтальной плоскости проекций, поэтому фронтальная проекция искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией призмы в пределах очерка конуса.

Линия пересечения будет состоять из части эллипса и части окружности радиуса R.

Характерными точками будут А, С, D и M, N для эллипса и M, N, K для окружности;

CD - малая ось эллипса;

M, N - точки излома;