Тема 4-1. Пересечение многогранников (пирамиды с призмой))
Линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную замкнутую линию. В частных случаях эта ломаная может распадаться на две замкнутые ломаные линии. Вершинами ломаной являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Стороны представляют собой отрезки прямых, по которым пересекаются грани многогранников. Построения упрощаются, если вершины и стороны ломаной определяются соответственно как точки и прямые пересечения граней общего положения одного многогранника с проецирующими ребрами и гранями другого.
Рис.76. Пересечение призмы и пирамиды
При построении линии пересечения поверхностей двух пирамид, призмы и пирамиды, двух призм в качестве вспомогательных плоскостей можно использовать плоскости общего положения:
1. две пирамиды – вспомогательные плоскости должны проходить через вершины пирамид;
2. пирамида и призма – вспомогательные плоскости, проходящие через вершину пирамиды параллельно боковым ребрам призмы;
3. две призмы – вспомогательные плоскости, параллельные боковым ребрам обеих призм.
Пересечение пирамиды с прямой призмой. Боковые ребра призмы проецируются в точки, а боковые грани являются горизонтально проецирующими отсеками плоскостей. Поэтому, одна проекция линии пересечения многогранников известна. Точки пересечения пирамиды с призмой легко определяется на горизонтальной проекции. С помощью линии связи строим фронтальные проекции этих точек. Из вертикальных ребер призмы лишь одно пересекает пирамиду. Точки пересечения этого ребра определяем с помощью вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости, проходящей через данное ребро и вершину пирамиды. Соединяем построенные проекции точек, при этом следует руководствоваться горизонтальной проекцией.
Тема 4-2. Пересечение криволинейных поверхностей с многогранниками
Пересечение призмы и цилиндра. Для определения линии пересечения верхнего основания цилиндра с боковыми гранями призмы вводим горизонтальную секущую плоскость λ, проходящую по верхнему основанию цилиндра. Эта плоскость пересекает грань призмы по прямой а, горизонтальная проекция которой пересекает окружность - проекцию верхнего основания цилиндра - в точке В1. Соединив точку В1 с точкой A1 прямой, получим горизонтальную проекцию линии пересечения грани призмы с основанием цилиндра. Ее фронтальная проекция сливается с фронтальной проекцией верхнего основания цилиндра. Найденные фронтальные проекции стальных точек соединяем плавными кривыми и получаем фронтальную проекцию видимой части линии пересечения. Проекция невидимой части симметрична видимой и сливается с ней.
Для построения аксонометрической (изометрической) проекции пересекающихся поверхностей цилиндра с призмой сначала строят изометрические проекции цилиндра и основания призмы (рис.77).
Рис. 77. Пересечение призмы и цилиндра
Потом на нижнем основании цилиндра отмечают точки N'1, В'1, C'1, D'1 и Е'1 - вторичные проекции линии пересечения, для чего используют размеры I, II, III и IV. После этого из полученных точек проводят прямые параллельно оси z' и на них откладывают высоты этих точек. Найденные точки В', С", D', Е', F', М' и N' последовательно соединяют двумя плавными кривыми. Пользуясь размером V, определяют точку А' - пересечение ребра призмы с верхним основанием цилиндра - и соединяют ее с точкой В', получают видимую часть линии пересечения. Затем находят невидимую часть линии пересечения и проводят боковые ребра призмы; получают изометрическую проекцию пересекающихся цилиндра с призмой (рис.77).
| Пересечение призмы и шара | |
| Эту задачу также решают путем проведения параллельных плоскостей. Сначала находят характерные точки. Левая грань призмы как плоскость рассечет шар по окружности. Эта окружность спроецируется на фронтальную плоскость проекций в виде эллипса. Находят малую и большую оси эллипса. Точку 1 находят непосредственно по горизонтальной проекции, а точку 2 - после проведения плоскости σ через левую грань призмы. Для нахождения большой оси эллипса 3-4 опускают перпендикуляр на плоскость σ из центра шара О. Точка 3141 есть горизонтальная проекция большой оси. Фронтальную проекцию ее находят с помощью фронтальной плоскости λ. Плоскость λ пересечет шар по окружности радиуса 9101.
Этим радиусом из центра шара О2 делают засечки для получения точек 32 и 42. Иначе точки 32 и 42 можно найти, откладывая от малой оси эллипса 1222 вверх и вниз отрезки, равные 1131 или 2131. 0чень важно найти точки 52 и 62, в которых эллипс касается контура шара. В этих точках видимая часть эллипса переходит в невидимую. Находят их легко, поскольку они лежат на большой окружности, параллельной плоскости П2. Точки 7 и 8 находят с помощью фронтальной плоскости λ' или путем непосредственного проецирования с профильной проекции (см. точки 7 3 и 8 3). С помощью фронтальных плоскостей находят любое количество промежуточных точек. Порядок построения изометрической проекции такой же, как и в случае пересечения двух призм. Строят нижнее основание призмы, затем левую грань призмы, наносят на ней линию пересечения 7'3'5'1' и т. д. Строят центр шара О' и радиусом, равным 1 2- 2 2 радиуса шара, проводят его контур. Далее достраивают призму и обводят чертеж с учетом видимости отдельных частей призмы и шара. Невидимые линии пересечения часто не строят.
| |
Рис. 78 Пересечение призмы и шараПостроение пересечения конуса и призмы.
Призма занимает проецирующее положение по отношению к фронтальной плоскости проекций, поэтому фронтальная проекция искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией призмы в пределах очерка конуса.
Линия пересечения будет состоять из части эллипса и части окружности радиуса R.
Характерными точками будут А, С, D и M, N для эллипса и M, N, K для окружности;
CD - малая ось эллипса;
M, N - точки излома;