Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
если в правой части уравнения стоит ноль,
то уравнение называется однородным линейным.
Для решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение.
Характеристическим называется квадратное уравнение, полученное на основе дифференциального уравнения, в котором заменяются новой переменной k, степень которой определяется порядком производной:
Тогда характеристическое уравнение получается в виде:
Находим корни характеристического уравнения:
Конечный вид решения дифференциального уравнения будет зависеть от вида корней, т.е. от знака дискриминанта
1. Если, корни характеристического уравнения действительные и разные числа, то:
2. Если, корни характеристического уравнения действительные и равные, то решением дифференциального уравнения будет являться функция:
3. Если, корни характеристического уравнения – комплексные числа т.е. и, то
, i – мнимая единица, примечательна она тем, что, следовательно.
Таким образом, решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к трем, достаточно простым шагам:
1. Записать характеристическое уравнение. При этом надо учесть, что в исходном уравнении могут отсутствовать второе или третье слагаемое, в этом случае и характеристическое уравнение будет неполным.
2. Найти корни получившегося квадратного уравнения.
3. В зависимости от типа коней записать конечный ответ.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Составляем характеристическое уравнение:
Находим его корни:
, т.е. получили второй тип корней
Подставив полученное значение k = 1 в соответствующее равенство, получаем:
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения:
,, получили два действительных и разных корня. Подставим их в соответствующий тип решения, получим:
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
,
В данном случае получились комплексные корни. Подставив их в соответствующий тип решения, получим:
Упражнения
I. Найти общие решения для дифференциальных уравнений:
| 1. | 7. |
| 2. | 8. |
| 3. | 9. |
| 4. | 10. |
| 5. | 11. |
| 6. | 12. |
II.. Найти общие решения для дифференциальных уравнений второго порядка:
| 1. | 7. |
| 2. | 8. |
| 3. | 9. |
| 4. | 10. |
| 5. | 11. |
| 6. | 12. |
III. Решите задачи.
1) Скорость уменьшения массы лекарственного препарата в крови в любой момент времени прямо пропорциональна массе этого препарата (коэффициент пропорциональности известен и равен " к "). Найти закон зависимость массы препарата от времени, если масса в момент начала наблюдения равна.
2) Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N (t), если константа размножения равна b.
3) Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства. Определить, через какое время после введения в организме останется 10% первоначального количества, если одноразово при t =0 было введено m =9,7 г лекарства. Константа распада лекарственного вещества k = 0,05 час-1.
4) Тело массы 1 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости, совершает колебания в среде с коэффициентом сопротивления. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.
5) Скорость изменения пороговой силы тока выражается формулой. Найти закон изменения тока от времени, если в момент времени t =0,4 мс соответствующее значение тока равно 3,2 мА.
6) Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к ее объему сохраняется постоянным, скорость роста клетки пропорциональна длине клетки l в данный момент. Составить и решить дифференциальное уравнение, считая, что при t =0, l = l 0.
