Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

 

если в правой части уравнения стоит ноль,

то уравнение называется однородным линейным.

Для решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение.

Характеристическим называется квадратное уравнение, полученное на основе дифференциального уравнения, в котором заменяются новой переменной k, степень которой определяется порядком производной:

Тогда характеристическое уравнение получается в виде:

Находим корни характеристического уравнения:

 

Конечный вид решения дифференциального уравнения будет зависеть от вида корней, т.е. от знака дискриминанта

1. Если, корни характеристического уравнения действительные и разные числа, то:

2. Если, корни характеристического уравнения действительные и равные, то решением дифференциального уравнения будет являться функция:

3. Если, корни характеристического уравнения – комплексные числа т.е. и, то

, i – мнимая единица, примечательна она тем, что, следовательно.

Таким образом, решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к трем, достаточно простым шагам:

1. Записать характеристическое уравнение. При этом надо учесть, что в исходном уравнении могут отсутствовать второе или третье слагаемое, в этом случае и характеристическое уравнение будет неполным.

2. Найти корни получившегося квадратного уравнения.

3. В зависимости от типа коней записать конечный ответ.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Составляем характеристическое уравнение:

 

Находим его корни:

 

, т.е. получили второй тип корней

Подставив полученное значение k = 1 в соответствующее равенство, получаем:

 

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

,, получили два действительных и разных корня. Подставим их в соответствующий тип решения, получим:

 

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

 

,

В данном случае получились комплексные корни. Подставив их в соответствующий тип решения, получим:

 

Упражнения

I. Найти общие решения для дифференциальных уравнений:

1.	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.	12.

II.. Найти общие решения для дифференциальных уравнений второго порядка:

1.	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.	12.

III. Решите задачи.

1) Скорость уменьшения массы лекарственного препарата в крови в любой момент времени прямо пропорциональна массе этого препарата (коэффициент пропорциональности известен и равен " к "). Найти закон зависимость массы препарата от времени, если масса в момент начала наблюдения равна.

2) Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N (t), если константа размножения равна b.

3) Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства. Определить, через какое время после введения в организме останется 10% первоначального количества, если одноразово при t =0 было введено m =9,7 г лекарства. Константа распада лекарственного вещества k = 0,05 час^-1.

4) Тело массы 1 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости, совершает колебания в среде с коэффициентом сопротивления. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

5) Скорость изменения пороговой силы тока выражается формулой. Найти закон изменения тока от времени, если в момент времени t =0,4 мс соответствующее значение тока равно 3,2 мА.

6) Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к ее объему сохраняется постоянным, скорость роста клетки пропорциональна длине клетки l в данный момент. Составить и решить дифференциальное уравнение, считая, что при t =0, l = l ₀.