Лекции.Орг
 

Категории:


Поездка - Медвежьегорск - Воттовара - Янгозеро: По изначальному плану мы должны были стартовать с Янгозера...


Расположение электрооборудования электропоезда ЭД4М


Теория отведений Эйнтховена: Сердце человека – это мощная мышца. При синхронном возбуждении волокон сердечной мышцы...

Основные свойства определенного интеграла

Загрузка...

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

,

где k - постоянная.

Свойство 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций на отрезке[a, b] равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций на данном отрезке. Для двух функций

 

где u(x) и v(x) - две функции. Например,

 

Свойство 3. При перемене местами пределов интегрирования определенный интеграл изменяет свой знак на противоположный:

 

Свойство 4. Если существуют интегралы и

то существует и интеграл и для любого расположения точек a, b и c

 

Отметим, что рассматриваемое свойство справедливо и в случае, если точка c лежит вне отрезка [a, b], хотя чаще всего оно применяется для случая a < c < b.

Свойство 5. Для нечетной функции

 

Свойство 6. Для четной функции

 

 

Формула Ньютона-Лейбница

Значение определенного интеграла от непрерывной функции f(x) на отрезке [a, b] равно разности значений любой первообразной этой функции, взятой в верхнем и нижнем пределах интегрирования:

 

Здесь F(x) - первообразная функции f (x); - знак подстановки.

Равенство и есть формула Ньютона-Лейбница. Пользуясь ею, вычисляют значение определенного интеграла. Например,

 

Методы вычисления определенных интегралов

1. Метод непосредственного интегрирования (метод разложения) – используют в тех же случаях и по такому же принципу, что и для неопределенных интегралов, найдя первообразную функции далее применяют формулу Ньютона-Лейбница.

Пример.

2. Метод замены переменной применяют в тех же случаях, что и при нахождении неопределенных интегралов, но в данном случае замены требуют и границы интегрирования, которые и подставляются в формулу Ньютона-Лейбница, без возврата к старой переменной.

Пример 1. ;

введем новую переменную: тогда и

Затем находим новые пределы интегрирования (по переменной ), используя связь между "старой" и "новой" переменными.

Действительно, при , при .

Заменяем в исходном интеграле переменную x на переменную t и записываем новые пределы интегрирования, тогда получаем: .

Затем вычисляем определенный интеграл, используя формулу первообразной степенной функции и формулу Ньютона-Лейбница:

.

Некоторые приложения определенных интегралов

1. Вычисление площадей фигур. Решение таких задач можно для удобства разделить на этапы:

1) Схематично строим графики функций, ограничивающих искомую криволинейную трапецию;

2) Находим границы интегрирования (если они не заданы), для этого нужно приравнять функции и найти значения х, т.е. те самые границы;

3) Находим площадь, вычисляя интеграл в полученных границах.

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями: , , , .

Решение: Вначале представим искомую площадь графически:

 

                       у

                  

                       4            C

                                 3

                                 2  B

                                 1

                                     А  D

 

                                   1 2 3 4      х

 

Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВСD.

В соответствии с геометрической интерпретацией определенного интеграла, определенный интеграл функции в пределах от до , т.е. , численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линией графика функции , осью абсцисс ОХ и линиями и , искомая площадь равна: .

Вычисляя полученный определенный интеграл с использованием формулы Ньютона-Лейбница имеем:

 кв.ед.

 

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями: 

Решение: Представим искомую площадь графически:

 

              у

 

 

                       В

              9

              6

              3

 

              А 1 3 5 С     х

 

Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВС.

.

Для вычисления этой площади необходимо знать пределы интегрирования. Найдем их, решая совместно систему уравнений

 

Точки пересечения этих линий и и есть искомые пределы при вычислении определенного интеграла.

Тогда кв.ед.


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Тема 2. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА | Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дата добавления: 2018-11-12; просмотров: 37 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.