Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла
,
где k - постоянная.
Свойство 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций на отрезке [a, b] равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций на данном отрезке. Для двух функций
где u(x) и v(x) - две функции. Например,
Свойство 3. При перемене местами пределов интегрирования определенный интеграл изменяет свой знак на противоположный:
Свойство 4. Если существуют интегралы и
то существует и интеграл и для любого расположения точек a, b и c
Отметим, что рассматриваемое свойство справедливо и в случае, если точка c лежит вне отрезка [a, b], хотя чаще всего оно применяется для случая a < c < b.
Свойство 5. Для нечетной функции
Свойство 6. Для четной функции
Формула Ньютона-Лейбница
Значение определенного интеграла от непрерывной функции f ( x ) на отрезке [a, b] равно разности значений любой первообразной этой функции, взятой в верхнем и нижнем пределах интегрирования:
Здесь F(x) - первообразная функции f ( x ); - знак подстановки.
Равенство и есть формула Ньютона-Лейбница. Пользуясь ею, вычисляют значение определенного интеграла. Например,
Методы вычисления определенных интегралов
1. Метод непосредственного интегрирования (метод разложения) – используют в тех же случаях и по такому же принципу, что и для неопределенных интегралов, найдя первообразную функции далее применяют формулу Ньютона-Лейбница.
Пример.
2. Метод замены переменной применяют в тех же случаях, что и при нахождении неопределенных интегралов, но в данном случае замены требуют и границы интегрирования, которые и подставляются в формулу Ньютона-Лейбница, без возврата к старой переменной.
Пример 1.;
введем новую переменную: тогда и
Затем находим новые пределы интегрирования (по переменной), используя связь между "старой" и "новой" переменными.
Действительно, при, при.
Заменяем в исходном интеграле переменную x на переменную t и записываем новые пределы интегрирования, тогда получаем:.
Затем вычисляем определенный интеграл, используя формулу первообразной степенной функции и формулу Ньютона-Лейбница:
.
Некоторые приложения определенных интегралов
1. Вычисление площадей фигур. Решение таких задач можно для удобства разделить на этапы:
1) Схематично строим графики функций, ограничивающих искомую криволинейную трапецию;
2) Находим границы интегрирования (если они не заданы), для этого нужно приравнять функции и найти значения х, т.е. те самые границы;
3) Находим площадь, вычисляя интеграл в полученных границах.
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями:,,,.
Решение: Вначале представим искомую площадь графически:
у
4 C
3
2 B
1
А D
1 2 3 4 х
Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВСD.
В соответствии с геометрической интерпретацией определенного интеграла, определенный интеграл функции в пределах от до, т.е., численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линией графика функции, осью абсцисс ОХ и линиями и, искомая площадь равна:.
Вычисляя полученный определенный интеграл с использованием формулы Ньютона-Лейбница имеем:
кв.ед.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:
Решение: Представим искомую площадь графически:
у
В
9
6
3
А 1 3 5 С х
Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВС.
.
Для вычисления этой площади необходимо знать пределы интегрирования. Найдем их, решая совместно систему уравнений
Точки пересечения этих линий и и есть искомые пределы при вычислении определенного интеграла.
Тогда кв.ед.
