Ранее мы рассматривали производную функции y = f(x). Часто в математике, физике и других науках возникает обратная задача - найти функцию y = f(x), если дана ее производная f'(x). Введем сначала новое понятие первообразной функции.
Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f (x), определенной на некотором интервале (a, b), если для всех x, принадлежащих этому интервалу, выполняется равенство:
F' (x) = f(x).
Если функция F(x) дифференцируема на интервале (a, b), непрерывна на отрезке [a, b], то функцию F(x) называют первообразной для функции/(x) на отрезке [a, b].
Определение. Неопределенным интегралом от функции f(x)dx, определенной на интервале (a, b), называется совокупность всех первообразных этой функции на рассматриваемом интервале:
Здесь- неопределенный интеграл; F(x) - одна из первообразных функции f (x); C - произвольная постоянная, называемая постоянной интегрирования; аргумент x называется переменной интегрирования.
Функция f (x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.
Основные свойства неопределенных интегралов. Таблица простейших интегралов
Как видно из определения, неопределенный интеграл от функции является также функцией от x. Следовательно, можно найти производную от интеграла. Так получаем первое свойство.
Свойство 1. Производная неопределенного интеграла от функции f (x) равна самой этой функции:
Это свойство используется для проверки правильности найденного интеграла.
Свойство 2. Неопределенный интеграл от дифференциала первообразной F(x) функции f (x) равен первообразной этой функции:
Где C - произвольная постоянная; F(x) + C - общий вид первообразной.
Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
где k = const при условии, что существует.
Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы либо разности двух или нескольких функций равен сумме или разности интегралов от каждой функции. Для двух функций
где u(x) и v(x) - две функции.
Методы нахождения неопределенных интегралов
Методов нахождения интегралов существует довольно много, но мы остановимся на рассмотрении двух самых простых.
1. Метод непосредственного интегрирования. Иногда еще его называют методом разложения. Используется в случаях, когда к интегралу сразу можно применить табличную формулу, либо исходный интеграл можно привести к табличному путем простейших арифметических преобразований.
Пример 1.
Пример 2.
Пояснение: в данном примере раскрыли скобки и возвели в квадрат сумму, затем применили к интегралу свойство 4 почленного нахождения интеграла от каждого слагаемого.
2. Метод замены переменной. Применяется когда под интегралом стоит сложная функция, и нет возможности применить готовую формулу таблицы. В этом случае «сложный» аргумент заменяется другой переменной. Рассмотрим последовательность действий на примерах.
Пример 1.
В данном случае интеграл отличается от табличного аргументом функции 2х.
Заменим его другой переменной: 2x = t и найдем дифференциал от обеих частей равенства: 2dx = dt, откуда
Подставим нашу замену и выражение для dx в искомый интеграл:
. После нахождения интеграла нужно вернуть исходный аргумент функции.
Пример 2. т.е заменяем корень степенью.
Делаем замену:
Находим дифференциал от обеих частей замены:
Находим из полученного выражения:
Подставляем предварительные вычисления в исходный интеграл, сразу вынеся минус:
Упражнения
I. Найдите неопределенные интегралы:
| 1. | 8. |
| 2. | 9. |
| 3. | 10. |
| 4. | 11. |
| 5. | 12. |
| 6. | 13. |
| 7. | 14. |
II. Найдите неопределенные интегралы пользуясь методом замены переменной:
| 1. | 10. |
| 2. | 11. |
| 3. | 12. |
| 4. | 13. |
| 5. | 14. |
| 6. | 15. |
| 7. | 16. |
| 8. | 17. |
| 9. | 18. |
III. Решите задачи:
1. Составить уравнение движения тела, если скорость тела (м/с), а при t =0 тело находилось в точке.
2. Скорость тела пропорциональна квадрату времени. Составить уравнение движения тела, если известно, что через 3 с координата тела см, а в начальный момент времени.
3. Ток в цепи, содержащей конденсатор, изменяется с течением времени по закону, где - постоянные величины. Определить, как изменяется со временем заряд конденсатора, если в момент времени, когда ток максимален, заряд конденсатора равен нулю.
4. Сила, действующая на тело в направлении движения, изменяется со временем по закону (H). Найти скорость тела в любой момент времени, зная, что в момент она была равна 1 м/с. Масса тела 3 кг.
5. Скорость точки задана уравнением) м/с. Найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени координата точки равна О.
6. Скорость тела задана выражением, где скорость измеряется в м/с, а время - в секундах. Найти зависимость координаты тела от времени (уравнение движения), если через 3 секунды после начала движения координата тела оказалась равной 60 м.
