Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x), а f — функция от u: f = f(u), то функция y=f(u) — сложная.
А u в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций.
1) y = sin x — эта функция «простая». Синус зависит от x. Как только вместо x под знаком синуса появится выражение, зависящее от x, даже самое простое — такая функция называется сложной. То есть y = sinu — сложная функция, если u — некоторая функция от x.
Примеры сложных функций с синусом:
y = sin(x+1). Эта функция — сложная. Внутренняя функция u здесь равна x+1, а внешняя функция f — это синус. То есть u=x+1, f = sin u.
y = sin (5x-2x³+3). Внутренняя функция u=5x-2x³+3, внешняя функция f = sin u.
y = sin. Внутренняя функция u =, внешняя функция f = sin u.
2) y = cos x — «простая» функция, y = cos u — сложная функция, если u — некоторая функция, зависящая от x.
Примеры сложных функций с внешней функцией — косинусом:
y = cos (4-11x). Внутренняя функция u = 4-11x, внешняя функция: y=cos u.
y = cos (7x³ -4x²). Внутренняя функция u=7x³ - 4x², внешняя - y = cos u.
3) y = tg x — «простая» функция. y = tg u — сложная функция, если u = u(x).
Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — тангенс:
y = tg(17+5x²). Внутренняя функция u = 17+5x², внешняя — y = tg u.
y = tg(9-x). Внутренняя u=9-x, внешняя – y = tg u.
4) y = ctg x — «простая» функция. y = ctg u - сложная функция, если u = u(x).
Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция — котангенс:
y = ctg(2x+6). Внутренняя функция u = 2x+6, внешняя - y=ctg u.
y=ctg(). u =, y = ctg u.
5) y = - «простая» функция. y = - сложная, если u = u(x).
Примеры сложных функций для случаев, когда внешняя функция квадратный корень:
Здесь внутренняя функция u = sin x, а внешняя - y =.
y =
Здесь u=9x³-12x+5, y =.
y = - «простая» функция. y = — сложная, если u = u(x).
Примеры сложных функций для случая, когда внешняя функция — степенная.
y = sin³x. Внутренняя функция y = sin x (так как sin³x = (sin x)³), внешняя – у = u³.
y =, следовательно u =, y =
Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Следующий этап — нахождение производной. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры.
Если y = f(u), где u = u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u. На первых порах нам поможет разобраться, как находится производная сложной функции для каждой конкретной функции, следующая таблица:
Кроме того, полезно помнить следующие формулы:
Итак, найти производную сложной функции. Примеры.
1) y = sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f = sinu, внутренняя - линейная:
u = 2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть
y’ = cos(2x+3)·(2x+3)’ = cos(2x+3)·2 = 2cos(2x+3).
2) y = cos(5-7x). Внешняя функция - косинус: f = cosu, внутренняя - линейная: u=5-7x. Поэтому y’ = - sin(5-7x)·(5-7x)’ = - sin(5-7x)·(-7)=7sin(5-7x).
Дифференциал сложной функции находится точно так же как и простой, с учетом нахождения производной сложной функции.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Ранее мы разобрали понятие приращения функции ∆y и дифференциала функции dy. В строгом математическом смысле эти две величины не равны друг другу, они различаются на малую величину. Поэтому в задачах, не требующих скрупулезной точности расчета быстрее и проще вычислить именно дифференциал функции и считать ∆y ≈ dy. Особенно данная формула удобна в случаях, когда исходная функция имеет сложный вид и вычисления приращения функции в явном виде затруднительны.
Для наглядности рассмотрим пример:
Определить изменение объема шара, если радиус R = 3 м, а ∆ R = 0.1 м.
Вначале вычислим изменение объема, пользуясь определением приращения функции:
Теперь вычислим дифференциал исходной функции:
.
Как видно из полученных результатов разница в ответе незначительная, а вычисление дифференциала делается намного проще.
