Замечание №3.
Наиболее просто вычисляется момент, если сила располагается в плоскости перпендикулярной к оси.
Если сила находится в плоскости перпендикулярной оси, то ее момент относительно этой оси будет равен произведению этой силы на кротчайшее расстояние между этой осью и линией действия силы.
Изобразим силу 
перпендикулярно оси Z. Кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси Z есть плечо h.
 |
mZ(
)=mZ()= 
Fh
mZ()= Fh
Зависимость между моментом силы относительно оси и любой точки лежащей на оси.
Момент силы относительно оси можно найти другим способом, не опираясь на принятое определение.
Изобразим ось Z и произвольную силу . На оси возьмем произвольную точку О. Построим векторный момент этой силы относительно точки О.
Z .
B
mOZ ()
γ 
A
в
O
a
Этот момент будет перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ.
Оказывается, что момент этой силы относительно оси Z равен проекции векторного момента на ось Z
mZ ()= mOZ ()
mOZ () – проекция векторного момента mZ () на ось Z
Для того чтобы этим способом найти момент силы относительно оси сначала найдем векторный момент относительно точки, а затем спроектируем векторный момент на ось. А до этого мы должны были спроектировать силу на плоскость, а затем находить момент проекции этой силы относительно точки.
Доказательство:
По модулю момент силы относительно точки О равен
׀ 
()׀= 2 пл. 
ОАВ
а момент относительно оси Z этой силы равен
mZ ()=2 пл. Оав
Нижний треугольник сточки зрения геометрии это проекции верхнего треугольника на плоскость. А она равняется площадь верхнего треугольника на косинус угла между треугольниками.
Запишем:
пл. Оав = пл. ОАВ cos γ,
где γ - угол между плоскостями треугольников, равный углу между нормалями к ним, то есть углу между mO () и Z.
Следовательно
mZ ()=2 пл. ОАВ cos γ
Или
mZ()= ׀ 
() ׀ cos γ
теперь смотрим по рисунку, из которого видно:
mO ()cos γ = moZ()
Поэтому окончательно получим
mZ ()= moZ () (7)
Последняя формула выражает следующую теорему:
Момент данной силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента этой в силы относительно любой точки лежащей на этой оси.
5 Аналитическое выражение момента силы относительно координатных осей.
(Теорема Вариньона)
Изображаем произвольную систему координат OXYZ и три составляющие силы (
) Координаты точки А следующие XYZ
Z
A
O Y
X
Y
X
Представим силу , как равнодействующую сил ;
= + +
Затем умножим это векторное равенство слева на вектор ,
= + +
Получаем
()= ()+ ()+ () (8)
Спроецируем это равенство на координатные оси и воспользуемся теоремой из пункта 4
moX() =mX()
moY() =mY()
moZ () = mZ ()
окончательно
mX () = mX () + mX () + mX ()
mY() = mY() + mY() + mY() (9)
mZ() = mZ() + mZ() + mZ()
Формулы 8 и 9 выражают теорему Вариньона 1654-1722 выдающийся французский ученый, математик механик.
Формулировка.