( ) , . . , (1) (2), . (. 1).
(1) (2). (1) 0 x:
,
() = 0 + . (7)
, (7) (1) (2). , = 0
( 0) = 0 + = 0.
(7) . (7) 0,
1() = 0 + .
, , 1() ,
. (7) 1(),
2() = 0 +
. .
n() = 0 + (n =1, 2,...). (8)
(8),
1(), 2(),..., n(),.... (9)
[1, 2, 3],
= (),
.. (7), , (1) (2). , k - (9) (1)
.
k -
, (10)
L ; f, .. ;
d , b (. 1).
1. ' = x + y 2, (0) = 1.
.
0 = (0) = 1,
:
1() = 0 + = 1+ ,
2() = 0 + = 1+ ,
3() = 0 + = 1+ .
1(), 2(), 3() MathCAD. . 14.
.
G, (6), = 1, b = 2.
G: 1 1,1 y 3.
G
f (x, y) = x + y 2
, : ,
,
,
= .
(10)
.
. 14
, MathCAD , :
|
|
1) ;
2) Evaluate () Simbolic () .
MathCAD, :
1) ;
2) Simplify () Simbolic () .
2.
' = 2 ,
(0) = 0.
.
.
0 = (0)= 0.
, MathCAD, . 15.
. 15
.
, y = y (x) M0M1M2..., (. 16).
. 16
, .. (1) (2) y = y (x). h, ,
0, :
i = 0 + ih (i = 0, 1, 2, ...).
y = y (x) [ 0, 1] L 1 0 ( 0, y 0). L 1, (1),
y = y 0 + f ( 0, y 0) ( 0).
= 1 L 1
y 1 = y 0 + hf ( 0, y 0),
,
0 = hf ( 0, y 0).
, L 2 1( 1, y 1),
y = y 1 + f ( 1, y 1) (x 1).
= 2 y 2 = y 1 + hf ( 1, y 1), .. y 2 y 1
1= hf ( 1, y 1).
, y (x) :
yi +1 =yi + i, i = hf ( i, yi), (11)
i = 0,1,2,..., .
y = y (x), 0 ( 0, y 0), M0M1M2..., M i M i +1 x = xi, x = xi +1
.
, , . . h 2, , .. . h h / 2. .
.
1.
' = x 3 + y, (0) = 1, [0, 1] h = 0,1.
2. ' = x 3 + y [0, 1].
|
|
.
1. (11) :
yi +1 =yi + i, i = 0,1( i 3 + yi),
i = 0,1,2,..., 10.
, h 2 = 0,01, , yi .
.
i | i | yi | yi = hf ( i, yi) = 0,1( i 3 + yi) |
0 | 0 | 1 | 0,1 |
1 | 0,1 | 1,1 | 0,110 |
2 | 0,2 | 1,21 | 0,122 |
3 | 0,3 | 1,33 | 0,136 |
4 | 0,4 | 1,47 | 1,634 |
5 | 0,5 | 1,62 | 0,175 |
6 | 0,6 | 1,79 | 0,201 |
7 | 0,7 | 1,99 | 0,233 |
8 | 0,8 | 2,22 | 0,273 |
9 | 0,9 | 2,49 | 0,322 |
10 | 1 | 2,82 |
2. ' = x 3 + y . .
y = uv,
= 0.
, u ,
= 0.
= 0, . , , ( , - ).
u
,
.
, ,
.
:
.
,
y = uv = ,
y = .
(0) = 1, 1 = ‑ 6 + , = 7. , ()
= .
[0, 1] h = 0,1. 0,01 .
i | i | yi | y ( i) |
0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0,1 | 1,1 | 1,11 |
2 | 0,2 | 1,21 | 1,22 |
3 | 0,3 | 1,33 | 1,35 |
4 | 0,4 | 1,47 | 1,5 |
5 | 0,5 | 1,62 | 1,67 |
6 | 0,6 | 1,79 | 1,86 |
7 | 0,7 | 1,99 | 2,08 |
8 | 0,8 | 2,22 | 2,35 |
9 | 0,9 | 2,49 | 2,66 |
10 | 1 | 2,82 | 3,03 |
() [0, 1] MathCAD.
, , MathCAD, . 17.
. 17
, . ( i, yi) ( i + 1, yi + 1). , - y (x) :
= yi + i, i = hf ( i, yi),
yi +1 = yi + h , i = 0,1,2,....
, ( i, yi) ( i + 1, ). .
, :
,
(, ), .. = f (, ),
yi +1 = yi + h .
- ( ) .
, .
. 18 19 ' = x 3 + y, (0) = 1, ( - ) MathCAD.
. 18
. 19
|
|
-
- ( ). - . , (1) (2), :
yi +1 =yi + i; i = (k 1(i) + 2 k 2(i) + 2 k 3(i) + k 4(i)), (12)
k 1(i)= h f ( i, yi);
k 2(i)= h f ( i + , yi + );
k 3(i)= h f ( i + , yi + );
k 4(i)= h f ( i + h, yi + k 3(i)), i = 0,1,2,....
h 5.
- (12) (. 20).
. 20
0( 0, y 0) , 1, tg 1= f ( 0, y 0). , ..
= 0 + . 1
0( 0, y 0) , 2, tg 2 = f ( 0 + , y 0 + ), 2
.
0( 0, y 0) , 3, tg 3 = f . 3
( 0 + h, y 0 + k 3(0)). , 4, tg 4 = = f ( 0 + h, y 0 + k 3(0)).
= (k 1(0) + 2 k 2(0) + 2 k 3(0) + k 4(0)).
1 ( 1, y 1) = ( 0 + h, y 0 + ).
, 1, . = 2, 2( 2, y 2) ..
- [2, 4]. h , : y ( i) y ( i + 2 h) : h, 2 h.
, h y ( i + 2 h). .
(15) , .
i | x | Y | k = hf (, y) | |
0 | 0 0 + 0 + 0 + h | y 0 y 0 + y 0 + y 0 + k 3(0) | k 1(0) k 2(0) k 3(0) k 4(0) | k 1(0) 2 k 2(0) 2 k 3(0) k 4(0) |
1 | 1 | y 1 | ... | ... |
. - ' = x 3 + y, (0) = 1, [0, 1] h = 0,1.
. , h 5 = 0,00001, , yi . .
i | y | k = 0,1( 3 + y) | y | |
0 | 0 0,05 0,05 0,1 | 1 1,05 1,0525 1,1053 | 0,1 1,10501 1,10526 1,11063 | 0,1 0,21003 0,21053 0,11063 |
0,1052 | ||||
1 | 0,1 0,15 0,15 0,2 | 1,1052 1,1604 1,1634 1,2219 | 0,11062 0,11637 0,11668 0,11136 | 0,11062 0,23278 0,21121 0,11136 |
0,10556 | ||||
2 | 0,2 0,25 0,25 0,3 | 1,2218 1,2717 1,2752 1,3399 | 0,12188 0,12874 0,12908 0,13669 | 0,12188 0,25747 0,25816 0,13669 |
0,12903 | ||||
3 | 0,3 0,35 0,35 0,4 | 1,3520 1,4081 1,4124 1,4853 | 0,13668 0,1451 0,14552 0,15493 | 0,13668 0,2902 0,29105 0,15493 |
0,14548 | ||||
4 | 0,4 0,45 0,45 0,5 | 1,4988 1,5628 1,568 1,6512 | 0,15493 0,16539 0,16591 0,17762 | 0,15493 0,33078 0,33182 0,17762 |
0,16586 | ||||
5 | 0,5 0,55 0,55 0,6 | 1,6661 1,74 1,7465 1,8425 | 0,17762 0,19064 0,19132 0,20585 | 0,17762 0,38128 0,38258 0,20585 |
0,19122 | ||||
6 | 0,6 0,65 0,65 0,7 | 1,8588 1,9618 1,9699 2,0826 | 0,20584 0,22199 0,2228 0,24082 | 0,20584 0,44399 0,4456 0,24082 |
0,22271 | ||||
7 | 0,7 0,75 0,75 0,8 | 2,0833 2,1855 2,1955 2,3268 | 0,24081 0,26074 0,26173 0,28388 | 0,24081 0,52148 0,52347 0,28388 |
0,26161 | ||||
8 | 0,8 0,85 0,85 0,9 | 2,3468 2,4898 2,5021 2,6585 | 0,28589 0,3104 0,31162 0,33875 | 0,28589 0,62079 0,62324 0,33875 |
0,31145 | ||||
9 | 0,9 0,95 0,95 1 | 2,6582 2,8545 2,8695 3,0566 | 0,34129 0,37119 0,37269 0,40566 | 0,34129 0,74238 0,74537 0,40566 |
0,37245 | ||||
10 | 1 | 3,0280 |
|
|
, - MathCAD, . 21.
. 21
1.
1. ' = f (x, y) c (a) = c .
2. [ a, b ] h, 0,001.
3. ' = f (x, y) [ a, b ]. .
15- .
f (x, y) | a | b | h | ||
1 | 0 | 1 | 0 | 0,1 | |
2 | 0 | 1 | 1 | 0,1 | |
3 | 0 | 2 | 0 | 0,1 | |
4 | p | 2p | 0 | p/10 | |
5 | 1 | 2 | 0,1 | ||
6 | 1 | 3 | 0,2 | ||
7 | 4 + | 1 | 2 | 2 | 0,1 |
8 | 1 | 2 | 0 | 0,2 | |
9 | 0 | 2 | 0 | 0,1 | |
10 | 0 | 2 | 1 | 0,2 | |
11 | 1 | 2 | 0 | 0,2 | |
12 | 0 | 1 | p/4 | 0,1 | |
13 | 0,1 | ||||
14 | 0 | 1 | 1 | 0,1 | |
15 | 0 | 0,3 |
1
1. , , (3) k = 0, 1,..., 5.
2. , 1- 4 , 5- , 6-8- , 9-15- .
3. [ a, b ], .
2. ' = f (x, y) [ a, b ] (a) = c h:
1) 2 h h;
2) ( - );
3) - 2 h h.
0,0001. . .
f (x, y) | a | b | h | ||
1 | 2 sin(x + y)2 | 2 | 3 | 2,3 | 0,1 |
2 | co s (1,5 x y 2) 1,3 | 1 | 1 | 0,2 | 0,2 |
3 | cos(1,5 y + x 2) + 1,4 | 1 | 2 | 0,9 | 0,1 |
4 | cos(0,6 +y) + 2,5 x | 1 | 3 | 1,5 | 0,2 |
5 | 1,5 + sin(x + y) | 1,5 | 2,5 | 0,5 | 0,1 |
6 | 2,6 | 4,6 | 1,8 | 0,2 | |
7 | +1 | 0 | 2 | 2,9 | 0,2 |
8 | 0 | 2 | 1 | 0,2 | |
9 | 0 | 2 | 0 | 0,2 | |
10 | arcsin x+x | 0 | 1 | 3 | 0,1 |
11 | 4,1 x y 2 +0,6 | 0,6 | 2,6 | 3,4 | 0,2 |
12 | + 2 x | 0 | 0,5 | 0,3 | 0,05 |
13 | + 2 y | 1,5 | 2 | 2,1 | 0,05 |
14 | + x + 1 | 0,1 | 0,5 | 1,25 | 0,05 |
15 | 0,4 | 3 | 5 | 1,7 | 0,2 |
|
|