1. Абсолютно упругий удар - это такой удар, в результате которого механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии. При этом не происходит потери механической энергии: кинетическая энергия движущихся тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации; затем тела восстанавливают свою первоначальную форму и потенциальная энергия опять переходит в кинетическую. После удара происходит перераспределение кинетической энергии и тела движутся с разными скоростями.
Пусть два абсолютно упругих шара с массами и движутся до удара поступательно со скоростями и , направленными вдоль оси ОХ, проходящей через их центры масс. Соударение может произойти: 1) если шары движутся навстречу друг другу, или 2) один из шаров догоняет другой. Рассмотрим второй случай (рис. 1, а). Тогда > > 0. Определим скорости шаров и после удара (рис. 1, б).
Считаем, что шары образуют замкнутую систему, и вращение шаров отсутствует. Запишем уравнение закона сохранения импульса:
(1)
Так как все скорости направлены вдоль оси ОХ, то это выражение можно заменить следующим алгебраическим уравнением:
(1*)
|
где - проекции соответствующих векторов скоростей на линию удара – ось ОХ.
Потенциальную энергию шаров до и после удара можно считать равной нулю, так как шары не деформированы. Следовательно, выполняется закон сохранения кинетической энергии:
. (2)
Сокращая уравнение (2) на 2, запишем уравнения (1*) и (2), как систему, которую необходимо совместно решить для определения скоростей и .
Перенесем слагаемые, относящиеся к влево, а к - вправо:
(2*)
Разделим уравнение (2*) на уравнение (1*):
Умножим последнее равенство на и сложим с уравнением (1*):
Получим:
.
Откуда
. (3)
Аналогично можно получить:
. (4)
Рассмотрим частные случаи.
а) Массы шаров одинаковы: . Тогда из выражений (3) и (4) имеем , то есть при ударе шары обмениваются скоростями. Если в частности до удара второй шар был неподвижен (), то после удара первый шар остановится (), а второй шар будет двигаться со скоростью первого () в том же направлении.
б) Масса второго шара во много раз больше массы первого шара ( >> ). Тогда из выражения (3) следует, что
(5)
Скорость более массивного шара почти не меняется .
Из выражения (4) получим:
. (6)
В частном случае, если более массивный шар покоился , то а (из выражения (5)), то есть скорость более легкого шара в результате удара изменяется только по направлению и шар, отскочив, движется в обратную сторону со скоростью . Например, упругий удар молекулы о стенку сосуда.
2. Абсолютно неупругий удар - это такой удар, в результате которого тела не восстанавливают свою первоначальную форму, при этом часть кинетической энергии переходит в энергию деформации и в конечном счете - в тепловую (внутреннюю) энергию. После удара тела движутся как одно целое, то есть с одинаковой скоростью.
При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса. Закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место общий закон сохранения полной энергии - механической и внутренней.
Пусть два неупругих тела с массами и движутся вдоль оси ОХ, проходящей через их центры масс, со скоростями и вдоль этой оси (рис. 2, а). Тогда после центрального абсолютно неупругого удара их общая скорость поступательного движения будет , направленная также вдоль оси ОХ (рис. 2, б).
Для определения скорости тел после удара достаточно записать закон сохранения импульса: , или в проекциях на ось ОХ: , (7) откуда (8) Закон сохранения полной энергии для абсолютно неупругого удара запишется так: |
.
, (9)
где - энергия, затраченная на деформацию тел. Определим .
.
Подставляя в последнее выражение значение скорости из формулы (8), получим:
. (10)
На практике используют абсолютно неупругий удар для изменения формы тел (ковка, штамповка, клепка и т.п.), для перемещения тел в среде (забивание гвоздей, свай и т.п.). В первом случае необходимо, чтобы энергия , затраченная на деформацию, была бы наибольшей. Это возможно, если масса неподвижного тела (наковальни) много больше массы движущегося тела (молота). В этом случае почти вся кинетическая энергия молота пойдет на деформацию наковки.
В самом деле, при
. (11)
( кинетическая энергия молота). Из последнего выражения видно, что максимальное значение будет при >> .
Если целью удара является перемещение одного из тел, то расход энергии на деформацию должен быть минимальным. При справедливо выражение (11), откуда следует, что , если , то есть если >> . Следовательно, масса движущегося тела должна быть много больше массы неподвижного тела (молоток - гвоздь). Тогда почти вся кинетическая энергия движущегося тела передается неподвижному телу, и этим обеспечивается его движение.
Описание установки
Опытная установка состоит из панели, на которой укреплена стойка с двумя одинаковыми стальными шарами (1 и 2), подвешенными на электропроводящих нитях. На панели смонтирована электрическая схема, имеющая два электромагнита ЭМ1 и ЭМ2, переключатели П-1 и П-2, счетчик импульсов ПСО2 - 4 и генератор частоты (см. схему на рис. 3).
|
Принцип определения силы соударения упругих шаров состоит в следующем. Если один из шаров отклонить от вертикали на некоторый угол, то он поднимется на высоту (рис.4), и, следовательно, его потенциальная энергия равна . При падении потенциальная энергия переходит в кинетическую, и в момент удара она равна . По закону сохранения энергии
,
откуда скорость
. (12)
Согласно второму закону Ньютона изменение импульса тела равно импульсу силы
, (13)
где - время взаимодействия шаров. Если другой шар неподвижен, и массы шаров одинаковы, то при центральном упругом ударе движущийся шар остановится, а неподвижный получит скорость u. Изменение импульса первого шара
.
Тогда выражение (13) примет вид:
, или ,
откуда . Подставляя значение скорости (12), получим:
. (14)
Таким образом, необходимо экспериментально определить - время удара и затем вычислить силу удара .
Выполнение работы
Для определения времени соударения шаров используется метод импульсного хронометра. Генератор импульсов соединен последовательно с шарами. Если шары привести в контакт, то за фиксированное время можно определить число импульсов и определить время одного импульса
За время соударения через электрическую цепь пройдет импульсов. Тогда время соударения
. (15)
1) Включить генератор частоты переключателем П-1.
2) Привести шары в положение контакта.
3) Установить на пересчетном устройстве время замера .
4) Нажать кнопку «сброс», а затем – «пуск». Примечание: перед началом каждого измерения необходимо нажимать кнопку «сброс».
5) Записать число импульсов в таблицу.
6) Опыт повторить не менее трех раз и записать в таблицу среднее значение .
7) Установить на пересчетном устройстве время, значительно большее, чем время соударения шаров. Для данного опыта устанавливаем время 1000с.
8) Включить один из электромагнитов переключателем П-2 и отвести к нему шар. При этом шар поднимется на высоту .
9) Нажать кнопку «сброс», а затем - «пуск».
10) Изменить положение переключателя П-2, т.е. отключить один электромагнит и включить другой. При этом шар отпускается, соударяется с другим шаром, и другой шар притягивается к включенному электромагниту. За время соударения электрическая цепь замыкается, и пересчетное устройство фиксирует число импульсов , прошедших по цепи за это время .
11) Записать значение в таблицу.
12) Опыт повторить не менее трех раз, вычислить среднее значение и записать в таблицу.
13) По формуле (15) вычислить среднее время соударения шаров:
и записать в таблицу.
14) Вычислить среднюю силу центрального упругого удара шаров по формуле (14).
.
Результат записать в таблицу.
Таблица измерений и вычислений
, () | |||||||
№ опыта | |||||||
1. | 0,1 | ||||||
2. | 0,1 | ||||||
3. | 0,1 |
Записать выводы, полученные в работе.
Контрольные вопросы
1. Какова цель работы?
2. Что называется ударом? Что такое прямой и центральный удар?
3. Какой удар является абсолютно упругим? Записать для него законы сохранения.
4. Как определяются скорости шаров после абсолютно упругого удара?
5. Как на опыте в данной работе определяется скорость шара в момент удара?
6. Какой удар является абсолютно неупругим? Записать для него законы сохранения.
7. Как определить скорость тел после абсолютно неупругого удара?
8. Как определить энергию деформации тел в результате абсолютно неупругого удара?
9. Чем отличаются между собой абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары?
10. Сформулировать и записать второй закон Ньютона через изменение импульса тела.
11. Чему равно изменение импульса шара при упругом ударе о такой же неподвижный шар?
12. Вывести расчетную формулу, по которой определяется сила соударения шаров.
13. В чем заключается метод импульсного хронометра, используемый в данной работе?
14. Как в данной работе определить время соударения шаров?
Лабораторная работа № 4