Дифференциальные уравнения

Лекция № 38. Тема 1: Введение

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.

Рассмотрим следующие две задачи.

1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.

где k - коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.

2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.

Согласно второму закону Ньютона имеем

, где , а .

Таким образом, получим .

Полученные соотношения представляют собой дифференциальные уравнения для нахождения функций и являются математи-ческими моделями соответствующих физических процессов.

1.2. Определение дифференциального уравнения

Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется урав-нение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у (х) и её производные: .

Его общий вид

. (1)

Дифференциальные уравнения, у которых функция у (х) является функцией одного переменного, называются обыкновенными ДУ.

Определение 2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, для первой задачи – уравнение первого порядка, для второй – уравнение второго порядка.

Определение 3. Решением ДУ (1) называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием ДУ.

Замечание 1. Наряду с термином “решение ДУ“ употребляется термин “интеграл ДУ“, под которым, как правило, понимается решение ДУ, полученное неявно, т.е. в виде

Например, для дифференциального уравнения функцию обычно называют решением, а для ДУ - выражение обычно называют интегралом уравнения.

Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка (ДУ-1)

. (2)

Если уравнение можно разрешить относительно производной, то

, (3)

где функция определена в некоторой области D.

Для примера рассмотрим уравнение Нетрудно убедится в том, что его решением является функция , где С - произвольная постоянная. И на любых других примерах можно убедится в том, что любое решение ДУ-1 есть бесконечное множество функций, которые определяются формулой, содержащей одну произвольную постоянную С, т.е. имеют вид

или . (4)

Определение 4. Общим решением или общим интегралом уравнения (2) или (3) называется функция (4) удовлетворяющая условиям:

1. Обращает в тождество уравнение при любых значениях С;

2. Для любой точки можно найти такое значение постоянной для которого или .

Давая произвольной постоянной С различные числовые значения, из общего решения получим так называемые частные решения.

Для того, чтобы из общего решения выделить конкретное частное решение, необходимо задать начальное условие, т.е. условие вида

или . (5)

В этом случае задача о нахождении частного решения называется задачей Коши.

Пример 1. Решить задачу Коши:

Как было показано, общее решение имеет вид . Определим константу С, исходя из начального условия

- решение задачи Коши.

Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении функция непрерывна в некоторой области D, содержащей точку , то существует решение этого уравнения, удовлетво-ряющее начальному условию . Если, кроме этого, в этой области непрерывна производная , то решение уравнения единственно.

Пример 2. Найти область единственности решения ДУ

Здесь . Тогда

и при возможно нарушение единственности решения. Во всех остальных точках решение единственное.

2.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим ДУ-1 (3). Если , то уравнение (3) можно пред-ставить в виде

Если к тому же

то

. (6)

Пусть в уравнении (6) выполняются условия:

тогда оно примет вид

. (7)

Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющи-мися переменными.

Разделим уравнение (7) на произведение , тогда получим

(8)

Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл

(9)

Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции и . Пусть, например, . Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение . Аналогично, если , то является решением уравнения (7).

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Преобразуем уравнение:

или

при этом . Интегрируя уравнение, получим

или

К этому решению нужно добавить решение вида , а решение вида входит в общее решение при . Окончательно, имеем

Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества:

Разделим переменные:

Интегрируя, получим

или .

Если известна начальная масса M ₀ при , тогда

и .

Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t ₁ масса вещества стала равной M ₁. Тогда

Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы радиоактивного вещества в зависимости от времени.

Лекция № 39

2.3. Однородные уравнения

Определение 1. Функция называется однородной функцией, если выполняется .

Например, функция является однородной, так как

Определение 2. Уравнение вида называется однородным уравнением, если однородная функция.

Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными.

По условию . Положим в этом тождестве , тогда

и уравнение примет вид

Сделаем замену и .

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируя его, а затем, подставляя , находим решение.

Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными, если , то однородное уравнение обладает решением или .

Пример 1. Определить кривую, проходящую через точку , если подкасательная АВ любой её точки есть среднее арифметическое координат.

Если - текущая точка у

кривой, то по условию задачи,

получаем уравнение

Получили однородное урав-

нение, поэтому сделаем замену О А В х

и .

Тогда уравнение примет вид

Разделяем переменные

и интегрируем

Выполнив обратную замену , имеем

Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и подставляя в общее решение ее координаты

находим и получим искомое уравнение кривой

2.4. Линейные уравнения первого порядка (ЛУ–1)

Определение 3. Уравнение вида , где и функции непрерывные на отрезке , называется линейным.

Его решение будем искать в виде

. (1)

Продифференцируем выражение (1), а, затем подставим в ЛУ-1, получим

. (2)

Функцию выберем из условия

Проинтегрируем это уравнение

Тогда уравнение (2) примет вид

Окончательно, имеем

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение ищем в виде . Тогда для функции получаем уравнение

а для функции -

Окончательно, имеем

2.5. Уравнения Бернулли

Определение 4. Уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Отметим, что при оно становится линейным, а при - уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому в дальнейшем эти случаи не рассматриваем.

Покажем, что уравнение Бернулли путём замены , приводится к линейному. Действительно,

Таким образом, уравнения Бернулли интегрируются аналогично как линейные.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Разделим данное уравнение на и получим уравнение Бернулли

Здесь . Решение ищем в виде . Тогда

Для функции получаем уравнение

а для функции -

Проинтегрируем это уравнение, тогда .

Таким образом, общее решение имеет вид

2.6. Уравнения в полных дифференциалах

Определение 5. Уравнение вида , называется уравнением в полных дифференциалах, если

, (3)

где частные производные непрерывны в некоторой области.

Покажем, что равенство (3) является условием полного дифферен-циала.

Теорема. Если полный дифференциал некоторой функции , то выполняется условие (3). Верно и обратное.

Пусть выражение является полным дифференциалом. Это означает, что , так как

Продифференцировав первое полученное выражение по у, а второе по х, получим

Обратно. Пусть выполняется условие (3). Требуется найти функцию , которая должна удовлетворять условиям:

Интегрируя первое из них, получим

где является фиксированной точкой из области определения функций и , а - произвольная функция. Теперь продифференцируем это выражение:

и воспользуемся условием (3)

откуда

и .

Таким образом, функция найдена

. (4)

Теорема доказана. Возвращаемся к уравнению в полных дифферен-циалах. Если выполняется условие (3), то согласно теореме имеем

- общий интеграл.

С учётом формулы (4) окончательно определяем общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

. (5)

Пример 4. Решить задачу Коши

Проверим выполнение условия (3):

т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах. По формуле (5) получаем

или

Приведём подобные члены и соберём все константы в одну:

Значение константы С определим из начального условия: .

Тогда решение задачи Коши будет иметь вид

Лекция № 40. Тема 3: ДУ высших порядков

3.1. Определение ДУ п -го порядка

Общий вид дифференциального уравнения п -го порядка (ДУ- п):

, (1)

или разрешенного относительно старшей производной:

Для поиска частного решения необходимо задать начальные условия:

. (2)

Определение 1. Общим решением или интегралом уравнения (1) назы-вается функция или соответст-венно, которая:

1. Удовлетворяет уравнению при любых значениях произвольных посто-янных .

2. При любых заданных начальных условиях (2) из области определения можно найти такие , что функция или соответственно будет удовлетворять условиям (2).

3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

3.2.1. .

Для нахождения решения данного уравнения необходимо проинтегри-ровать его п раз.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Проинтегрируем уравнение три раза:

3.2.2. (нет у).

При помощи замены уравнение принимает вид

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

После замены уравнение принимает вид

Это линейное уравнение, поэтому используем подстановку

Тогда получим

Так как , то

Интегрируя, окончательно получаем

3.2.3. (нет х).

При помощи замены …

уравнение принимает вид

Пример 3. Решить задачу Коши .

После замены получим уравнение с разде-ляющимися переменными:

Проинтегрируем:

Воспользуемся начальными условиями

Разрешим уравнение относительно и разделим переменные

Проинтегрируем

Из начальных условий находим и, окончательно, получаем частное решение

Тема 4: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ-2). Определитель Вронского и его свойства

Общий вид

, (3)

где и непрерывные на некотором отрезке функции.

Определение 2. Функции и называются линейно зависи-мыми (ЛЗ) на , если , где, по крайней мере, одно из них отличное от нуля, и для которых выполняется равенство или, если , то , т.е.

В противном случае, функции и называются линейно независимыми (ЛНЗ).

Например, функции и - ЛЗ, так как , а функции и - ЛНЗ, так как

Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (3) используется определитель Вронского

что следует из теорем:

Теорема 1. Если функции и линейно зависимы (ЛЗ) на , то определитель Вронского .

Так как , то

Теорема 2. Если определитель Вронского, составленный из решений уравнения (3), при некотором отличен от нуля, т.е. то

Так как и решения уравнения (3), то

Первое равенство умножим на , второе на и сложим полученные результаты. С учётом, что

получим уравнение с разделяющимися переменными

Найдём его решение, удовлетворяющее начальному условию

(4)

или

Формула (4) называется формулой Лиувилля. Из неё видно, что если

то .

Замечание 1. Из формулы (4) также следует, что если при некотором.

Замечание 2. По формуле Лиувилля, зная одно из решений ЛОДУ-2, можно найти другое. Разделив обе части равенства (4) на получим

Теорема 3. Если решения ЛОДУ-2 (3) ЛНЗ на , то .

Предположим обратное, т.е. при некотором . Тогда по теореме 2 . Предположим, что (в противном случае определитель Вронского тождественно равен нулю), тогда имеем равенство