Аналогично, как и для функции одной переменной определяется многозначная функция нескольких переменных.
Пример 1. Закон Ома: 
- функция двух переменных.
Пример 2. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении: 
- функция трёх переменных.
Определение 4. Множество значений 
, при которых определена 
, называется областью определения функции.
Пример 3. Найти область определения функций:
1. 
, т.е. областью определения данной функции является круг 
.
2. 
, т.е. область определения - первая и третья координатные четверти без координатных осей.
Геометрически функцию двух переменных можно представить как поверхность, уравнение которой 
. Например, уравнение функции 
геометрически представляет параболоид.
1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Точка 
стремится к точке 
, если расстояние между этими точками стремится к нулю, т.е. 
. Это очевидно эквивалентно: 
.
Определение 5. Число А называется пределом функции при стремлении точки 
, если 
, для всех точек из которой выполняется неравенство 
, и пишут
или 
.
Аналогично устанавливается понятие о бесконечном пределе функции. В случае, когда 
или 
, неравенство заменяется неравенствами вида: 
или 
соответственно, где М - произвольное положительное число, и пишут
или 
.
Определение 6. Функция имеет пределом число А при 
и 
если 
, что 
при 
и пишут
.
Определение 7. Функция называется непрерывной в точке М 0, если имеет место равенство
.
Если в некоторой точке условие непрерывности не выполняется, такая точка называется точкой разрыва.
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию 
в точке 
Рассмотрим значения функции вдоль прямых 
при
.
Таким образом, функция принимает разные значения в зависимости от значения k. Точка 
является точкой разрыва.
Замечание. Свойства непрерывной функции двух переменных аналогичны соответствующим свойствам функции одной переменной.
1.3. Частные производные функции двух переменных
Дадим независимой переменной х приращение 
, тогда функция 
получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается
.
Аналогично определяется частное приращение z по у:
.
Если же приращение получают одновременно х и у, то приращение
называется полным.
Определение 8. Частной производной от функции по х называется предел
,
или другие обозначения: 
.
Аналогично, 
,
или 
.
Из этих определений следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами для функции одного переменного. При этом, например, если мы вычисляем производную 
, то в процессе дифференцирования считаем, что 
Пример 5. Найти и 
, если 
1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
Как известно, полное приращение функции определяется по формуле
.
Пусть имеет непрерывные частные производные. Полное приращение представим в виде
.
К каждой разности применим теорему Лагранжа
,
где 
.
Так как в силу непрерывности существуют пределы:
; 
,
то по теореме о пределе функции получим
где 
.
Это означает, что подчеркнутое слагаемое является б.м.в. при 
и тогда
,
где 
.
Таким образом, получаем определение дифференцируемой функции двух переменных.
Определение 8. Функция называется дифференцируемой в точке, если её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых, линейных относительно 
и 
и величины бесконечно малой высшего порядка относительно 
, т.е.
При этом линейная часть 
называется полным дифференциалом и обозначается
Так как приращения независимых переменных называются их дифференциалами, то окончательно
а 
- частные дифференциалы.
1.5. Производная сложной функции
Пусть задана функция 
, где 
. В этом случае z является сложной функцией аргументов х и у. Пусть все эти функции имеют непрерывные частные производные.
Дадим переменной х приращение , тогда
где 
.
Разделим данное равенство на 
и перейдём к пределу при 
Отсюда следует 
.
Аналогично получим 
.
Пример 6. Найти 
и , если 
Лекция № 34. Тема 2: Частные производные.
Производная по направлению. Градиент
2.1. Полная производная
Пусть дана функция 
, где 
. Тогда, обобщая формулу для случая производной функции двух переменных, получаем
. (1)
Формула (1) называется формулой полной производной.
Пример 1. Найти полную производную функции 
, если 
.
.
2.2. Частные производные функции, заданной неявно
Требуется найти частные производные 
и 
, если 
, где 
. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции для случая трёх переменных
.
Аналогично находим 
.
Замечание 1. Отсюда следует ранее рассмотренный случай для функции одной переменной: Если 
, где 
.
Пример 2. Найти частные производные функции, заданной неявно
.
2.3. Частные производные высших порядков
Рассмотрим функцию 
. Если частные производные 
и 
являются дифференцируемыми функциями, то от них можно снова находить частные производные. Частные производные второго порядка определяются следующим образом
Последние две производные называются смешанными производными второго порядка.
Аналогично определяются производные высших порядков. Например,
- означает, что функция 
сначала дифференцируется т раз по х, а затем п - т раз по у.
Пример 3. Найти смешанные производные второго порядка функции 
.
Получено равенство двух смешанных производных второго порядка. Зависит ли в общем случае результат дифференцирования от порядка дифференцирования?
Теорема. Если функция 
и ее частные производные 
определены в некоторой окрестности точки М и 
непрерывны, то в этой окрестности смешанные производные равны
.
2.4. Производная по направлению
Рассмотрим функцию трёх переменных , заданную в некоторой пространственной области z 
V и точку 
. V
Проведём из точки М вектор , 
направляющие косинусы которого M
. На векторе 
возьмём точку 
, y
тогда 
-
расстояние между точками М и М 1. x
Приращение функции будет иметь вид
,
где 
. Если разделить это равенство на 
и перейти к пределу при 
, то получим
. (1)
Формула (1) представляет собой производную функции 
по направлению вектора .
Замечание 2. Частные производные – это частный случай производных по направлению векторов: 
.
Замечание 3. На плоскости производная по направлению имеет вид
.
Пример 4. Найти производную по направлению в точке 
от функции 
по направлению вектора 
.
Вычислим частные производные в точке М:
Определим направляющие косинусы вектора :
.
Тогда 
.
2.5. Градиент функции
Рассмотрим функцию трёх переменных.
Определение 1. Совокупность точек, удовлетворяющих уравнению 
, где 
, образует поверхность, которая называется поверхностью уровня.
Пример 5. Найти поверхности уровня функции 
.
Замечание 4. Для функции двух переменных имеем уравнения линии уровня 
.
Определение 2. Вектор 
называется градиентом функции 
.
Замечание 5. Для функции двух переменных градиент имеет вид 
.
Основные свойства градиента:
1. Производная по направлению 
равна проекции 
на , т.е. 
.
Так как единичным вектором 
для вектора будет вектор
, 
то
что и требовалось доказать.
2. Производная по направлению в данной точке имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента.
Это следует из свойства 1, так как 
будет при 
.
3. Производная по направлению, перпендикулярному градиенту, равна нулю. Это свойство также следует из свойства 1, так как
4. Градиент направлен перпендикулярно к поверхности уровня.
Пример 6. Найти градиент функции 
в точке 
.
Находим частные производные:
Тогда 
.
Лекция № 35
2.6. Касательная и нормаль к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением . Это уравнение можно рассматривать как уравнение поверхности уровня функции 
при 
, и тогда нормаль
на основании свойств градиента
получаем уравнение нормали
в точке 
Р
и уравнение касательной плоскости Р
Замечание 1. Если поверхность задана уравнением 
, то её можно представить в виде
и тогда уравнение нормали
а уравнение касательной плоскости
.
Пример 1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к сфере 
в точке 
.
Вычислим частные производные в этой точке:
Тогда получаем уравнение нормали
,
