ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1 страница

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Лекция № 25. Тема 1: Неопределённый интеграл

1.1. Первообразная и неопределённый интеграл

Ранее для заданной функции мы находили производную . Теперь рассмотрим обратную задачу: Известна производная . Требуется найти , которая называется первообразной.

С точки зрения механики – по скорости требуется восстановить движение материальной точки.

Определение 1. Функция называется первообразной на некотором промежутке для функции , если для всех х из этого промежутка.

Пример 1. Если , то получаем , так как . Кроме того, замечаем, что первообразными будут являться также функции и т.д.

Таким образом, первообразные отличаются на константу.

Теорема. Если и первообразные на , то выполняется , где .

Обозначим и применим к этой функции теорему Лагранжа: , так как , то .

Замечание 1. Если первообразную определить на некотором множестве, а не промежутке, то данная теорема, вообще говоря, неверна, что видно из примера:

Две функции являются первообраз-ными для функции . Однако, их разность

Определение 2. Множество всех первообразных на некотором проме-жутке называется неопределённым интегралом от функции и обозна-чается

Выражение называется подынтегральным. Операция нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием функции .

С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет собой множество кривых , получаемых путём сдвига одной из них параллельно самой себе вдоль оси О у.

1.2. Основные свойства неопределённого интеграла

1. .

Действительно, .

2. .

Действительно, .

3. Свойство линейности: , где .

Продифференцируем обе части этого равенства.

Для левой части получаем .

Для правой: .

4. , где .

Доказывается аналогично дифференцированием.

1.3. Таблица неопределённых интегралов

Непосредственным дифференцированием можно проверить следующие формулы:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

7. 11.

8. 12.

9. 13.

10. 14.

Замечание 2. Используя свойство 4, таблицу неопределённых интегралов можно расширить. Например, .

С помощью этой таблицы можно находить некоторые интегралы.

Пример 2.

Пример 3.

1.4. Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки)

Пусть функция является дифференцируемой и имеет обратную функцию . Тогда имеет место формула, которая проверяется дифференцированием:

. (1)

Действительно, продифференцируем левую часть: ,

Затем продифференцируем правую часть

= (по правилу дифференцирования сложной функции) = = (по правилу дифференцирования обратной функции) = .

Замечание 3. Функцию следует выбирать так, чтобы интеграл в правой части формулы (1) можно было найти.

Замечание 4. В практике нахождений интегралов константу С не пишут для каждого интеграла, так как они в конечном итоге будут входить в окончательный ответ, содержащий произвольную константу.

Замечание 5. Часто более целесообразно применять замену переменной в виде . Это в том случае, когда интеграл можно представить в виде . Например,

Пример 4.

Пример 5. .

Пример 6.

Пример 7. Найдите ошибку:

На основании свойства 4 имеем

С другой стороны

Отсюда следует

Лекция № 26

1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен

Рассмотрим интегралы вида . Они с помощью замены приводятся к известным интегралам.

Пример 1.

Замечание 1. Если для первого из рассмотренных интегралов квадрат-ный трёхчлен имеет действительные корни, то более целесообразно преобразовать подынтегральную функцию, представив её как сумму алгебраических дробей со знаменателями–множителями в разложении квадратного трёхчлена. Более подробно об этом будет рассмотрено в следующей лекции.

Пример 2. Найти интеграл .

Преобразуем подынтегральную функцию:

Определим коэффициенты А и В, выполнив сложение дробей и приравняв числители дробей правой и левой частей равенства:

Приравнивая коэффициенты при х и свободные члены, получим

откуда .

Тогда имеем

1.6. Интегрирование по частям

Пусть u и v дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула

. (1)

Проинтегрировав выражение (1), получаем формулу интегрирования по частям

. (2)

Формула (2) применяется при нахождении интегралов от функций вида:

и некоторых других.

Пример 3.

Пример 4. Найти интеграл . Воспользуемся формулой (2) дважды.

1.7. Многочлены и рациональные дроби

Вначале напомним некоторые положения из алгебры.

Рассмотрим многочлен п -ой степени с действительными коэффициентами. Если , то называется корнем многочлена. Согласно основной теоремы алгебры любой такой многочлен можно представить в виде

(3)

где действительные корни кратности , квадратичные множители в формуле (3) действительных корней не имеют и .

Пример 5. Представить в виде (3) многочлен .

Здесь и .

Определение 1. Рациональной функцией или дробью называется функция вида

. (4)

При этом будем считать, что (это всегда можно сделать путём деления числителя и знаменателя на ) и . Такая рациональная дробь называется правильной рациональной дробью.

В противном случае, нужно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель, т.е. представить дробь в виде

где - многочлен степени , а - многочлен степени меньше .

Пример 6. Выделить целую часть неправильной рациональной дроби

Выполним деление многочленов

Таким образом, дробь можно представить в виде

Определение 2. Рациональные дроби вида

1. ; 2. 3. 4.

называются простейшими дробями.

Интегралы от дробей 1-2 являются табличными. Интеграл от дроби 3 был уже рассмотрен в пункте 1.5. Интеграл от последней дроби путём замены приводится к известному интегралу и интегралу вида , для вычисления которого с помощью формулы интегри-рования по частям можно получить рекуррентную формулу

Например, если , то имеем

Таким образом, нахождение интегралов от простейших дробей не представляет принципиальных трудностей.

В алгебре доказывается следующая теорема.

Теорема. Если в правильной рациональной дроби знаменатель можно представить разложением (3), то её можно разложить на сумму простейших дробей, т.е.

С использованием этой теоремы преобразуется подынтегральная рациональная функция и нахождение интеграла приводится к интегрированию простейших дробей. Коэффициенты в числителях этих дробей вычисляются методом неопределённых коэффициентов.

Пример 7. Для выражения, полученного в примере 6, имеем

Коэффициенты определим методом неопределённых коэф-фициентов. Выполним сложение дробей и приравняем числители правильной дроби в левой части и результата сложения дробей (числителя) в правой части

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений

из которой следует . Окончательно получим

Лекция № 27

1.8. Интегрирование рациональных дробей

На основании рассмотренной в предыдущей лекции теоремы преобра-зуется подынтегральная рациональная функция и нахождение интеграла сводится к интегрированию простейших дробей. Коэффициенты в числи-телях этих дробей вычисляются методом неопределённых коэффициентов.

Пример 1. .

Преобразуем подынтегральную функцию, представив её как сумму простейших дробей

Определим коэффициенты . Для этого приведём дроби в правой части равенства к общему знаменателя и приравняем числители дробей в правой и левой частей полученного равенства

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (метод неопределённых коэффициентов), приходим к системе

Упростим систему, учитывая, что ,

Из первых двух уравнений получаем , из первого и третьего - и , .

Тогда наш интеграл приводится к нахождению интегралов

1.9. Интегрирование тригонометрических функций

1.9.1. Интегралы вида , где R - рациональная функция,

приводятся к интегралу от рациональной функции путём замены , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Это достигается тем, что и выражаются через рационально:

(1)

Пример 2. (воспользуемся формулами (1)) =

Замечание. Использование такой подстановки часто приводит к громоздким выражениям. Эта подстановка, как правило, эффективна, если и входят в дробное выражение в первой степени.