Общая характеристика методов принятия решений в условиях неопределенности. Принятие решений на основе суждений экспертов

Задача принятия решения в условиях неопределенности имеет две главные разновидности:

1. задача выбора (выбрать или отвергнуть несколько вариантов из группы возможных),

2. задача распределения ресурсов (каждый из рассматриваемых вариантов учитывается в соответствии с его приоритетом).

Задача принятия решений чрезвычайно остро стоит перед работниками управления; экономистами; финансистами; социологами; политиками; консультантами; оценщиками; работниками здравоохранения; научными работниками, которые всегда стоят перед выбором наилучшего (наиболее безрискового, дешевого, качественного) решения из множества существующих альтернатив.

Вот примеры решаемых ими типичных задач.

1. Рейтинг клиентов (какой из клиентов чаще покупает мои товары? кто из потенциальных клиентов является наиболее перспективным?).

1. Анализ рисков (например: вложения в какой из рассматриваемых руководством банка проектов наименее рискованны?).

2. Распределение ресурсов.

Пример. Руководство завода рассматривает перспективные проекты развития. Для них создается модель рейтингования. В итоге каждому проекту приписывается доля от единицы. Эти доли показывают, какой процент от имеющихся ресурсов (сырья, денег и т.п.) надо вложить в каждый проект.

3. Планирование от достигнутого.

Пример. Исходя из имеющихся: основных фондов, кадров, сырья, инфраструктуры, партнеров, конкурентов, конъюнктуры, влияния государства, имеющейся финансовой поддержки составляется рейтинг возможных положений предприятия через год, если все останется «как сейчас»: банкротство, бум основного производства, перепрофилирование, увеличение экспорта, захват или потеря рынков и т.п. Когда рейтинг известен, принимаются меры по поддержанию позитивных тенденций и подавлению негативных тенденций.

4. Планирование желаемого будущего.

Пример. Рейтинг наиболее перспективных сценариев развития региона известен. Руководством составляется рейтинг действий, которые надо осуществить, чтобы наиболее перспективные сценарии осуществились.

5. Комбинированное планирование для определения приоритетов деятельности, позволяющей сблизить результаты планирования от достигнутого и планирования желаемого будущего.

6. Выбор оптимальной стратегии. Это может быть комплекс задач по планированию, анализу рисков и т.д.

7. Анализ эффективность-стоимость.

Пример. При исследовании возможностей разработки полезных ископаемых региона получены рейтинги: а) по главному критерию «эффективность (высокая) добычи»: уголь – 0,45; железная руда – 0,3; фосфориты – 0,15; известняк – 0,1; б) по главному критерию «стоимость (низкая) добычи»: фосфориты – 0,5; железная руда – 0,3; известняк – 0,1; уголь – 0,1. Тогда, находя отношения относительной оценки эффективности к стоимости, получим рейтинг по критерию «эффективность-стоимость»: уголь – 4,5; железная руда – 1; известняк – 1; фосфориты – 0,3. Принято решение разрабатывать уголь и руду, не разрабатывать известняк и фосфориты.

8. Принятие кадровых решений.

Пример. Составляется рейтинг сотрудников фирмы по критерию «полезность за последний месяц». Критерий складывается из факторов: компетентность, коммуникабельность, участие в проектах, принесших прибыль, и т.п. Лидеры рейтинга поощряются.

9. Разрешение конфликтов.

Пример. Члены руководства корпорации по-разному оценивают ситуацию, склоняются к реализации разных проектов и не могут договориться. Директор не хочет принимать авторитарного решения. С учетом специфики деятельности корпорации составляется (возможно, общими усилиями) рейтинг проектов, по нему выбирается проект устраивающий всех. (При составлении рейтинга в данном случае особенно важно то, что происходит обмен мнениями, своего рода деловая игра и спор переходит в конструктивное русло.)

10. Поиск существенных факторов. Рейтинг составлен. Отбрасываем некоторые факторы. Если рейтинг в принципе не изменился, то отброшенные факторы несущественны. Задача определения существенных факторов особенно актуальна при решении масштабных проблем и проблем стратегического планирования.

 

Метод анализа иерархий

В настоящее время существует множество математических методов, позволяющих помочь в решении проблем, связанных с процессами принятия решений в различных предметных областях. В частности, очень распространен сейчас метод анализа иерархий (МАИ), разработанного американским ученым Т. Саати.

Часто экономические, медицинские, политические, социальные, управленческие проблемы имеют несколько вариантов решений. Зачастую, выбирая одно решение из множества возможных, лицо, принимающее решение, руководствуется только интуитивными представлениями. Вследствие этого принятие решения имеет неопределенный характер, что сказывается на качестве принимаемых решений.

С целью придания ясности процесс подготовки принятия решения МАИ на всех этапах сопровождается количественным выражением таких категорий как «предпочтительность», «важность», «желательность» и т.п. Требуется каждой альтернативе поставить в соответствие приоритет (число) и на основании этого получить рейтинг альтернатив. Причем чем более предпочтительна альтернатива по избранному критерию, тем больше ее приоритет. Таким образом, этот метод позволяет перейти от качественных характеристик какой-либо задачи к количественным характеристикам. Т.е. каждому решению сопоставить определенное число.

Данный метод имеет аналогичные подходы к решению задачи с различными разделами математики:

1) с теорией вероятностей. Приоритеты альтернатив (это положительные числа, их сумма равна единице) можно отождествить с вероятностями выбора альтернатив. Приоритеты факторов, влияющих на рейтинг альтернатив, можно считать вероятностями гипотез. При таком подходе способ вычисления приоритетов альтернатив аналогичен применению формулы полной вероятности.

2) с теорией графов. Структура ситуации принятия решения представляется в методе анализа иерархий в виде направленного графа. Узлами графа служат: альтернативы. Направленными дугами графа являются связи, указывающие на влияния одних узлов, на приоритеты других узлов.

3) с теорией неотрицательных матриц. Расчеты рейтингов, проводимые в методе анализа иерархий, математически основываются на методах расчетов собственных векторов для неотрицательных матриц.

4) с экспертными системами. Технологии принятия решения с помощью экспертных систем, основанных на способе логического вывода, являются частным случаем применения метода анализа иерархий.

5) с идеологией искусственных нейронных сетей. В частности, обратная в методе анализа иерархий по способу решения и проведение процедуры согласования аналогичны обучению нейронной сети.

МАИ является системной процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение, по парным сравнениям. Эти суждения затем выражаются численно.

Решение проблемы это процесс поэтапного установления приоритетов и включает:

1. определение и выделение проблемы;

2. декомпозиция проблемы в иерархию

Иерархия возникает, когда системы, которые функционируют как целое на одном уровне, функционируют как части системы более высокого уровня, становясь подсистемами этой системы.

 

А_i– критерии (факторы), влияющие на выбор решения;

K, L, M – альтернативы решения проблемы.

Иерархия считается полной, если каждый элемент заданного уровня функционирует как фактор (критерий) для всех элементов нижестоящего уровня.

3. построение матриц парных сравнений;

После построения иерархии проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты факторов (критериев) и оценить каждую из альтернатив по этим факторам, выявив самую важную их них. В МАИ факторы сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу» или «интенсивности») на общую для них характеристику.

Результаты парных сравнений представляются в виде квадратной матрицы

 

w₁₁ w₁₂ w₁₃...w_1n

w₂₁ w₂₂ w₂₃...w_2n

_{................................................}

w_{n 1} w_{n 2} w_{n 3} w_nn

где w_ij - веса (или интенсивности) каждого критерия

Эта матрица имеет свойства обратной симметричности: w_ij=1/w_ji

где i – номер строки, j – номер столбца.

С использование МАИ сравнивают вес (или интенсивность) каждого элемента с весом (или интенсивностью) другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели. Сравнение весов можно представить в виде матрицы А:

 

	А1	А2	...	Аn
А1	w 1 / w 1	w1/w2	...	w1/wn
А2	w 2 / w 1	w2/w2	...	w2/wn1
…	...	...	...	....
Аn	wn/w1	wn/w2		wn/wn

 

где А _i – критерии (факторы), влияющие на выбор решения,

w_i – веса (или интенсивности) каждого критерия.

Следует отметить, что интенсивность любого элемента, сравниваемого с самим собой, равна 1; поэтому диагональ матрица содержит только единицы.

Если приходится сравнивать явления для которых предусмотрена сложившаяся мера измерений (например, вес, длина и другие), то в качестве элементов матрицы можно использовать непосредственное физическое значение. Если приходится оценивать экономические, политческие и другие явления, которые не имеют фзической размерности, то используют шкалу, позволяющую определить интенсивность (или вес) каждого критерия. Эффективность этой шкалы доказана теоретически по сравнению с другими шакалами.

 

Интенсивность относительной важности	Определение	Объяснение
1	Равная важность	Равный вклад двух критериев
3	Умеренное превосходство одного фактора над другим	Опыт и суждения экспертов дают легкое превосходство одного фактора над другим
5	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения экспертов дают существенное превосходство одного фактора над другим
7	Значительное превосходство	Очевидно превосходство одного фактора над другим
2,4,6,8	Промежуточные решения между двумя соседними суждениями	Применяются в компромиссном случае
обратные величины приведенных выше чисел	Если сравнение одного фактора с другим получено из вышеуказанных чисел (например 5), то при сравнении второго фактора с первым получим обратную величину (1/5)

 

Сравнение начинают с левого элемента матрицы и определяют насколько он важнее, чем второй элемент. При сравнении элемента с самим собой отношение равно единице. Если первый элемент важнее, чем второй, то используется целое число из шкалы, в противном случае используется обратная величина. В любом случае обратные друг к другу отношения заносятся в симметричные позиции матрицы. Поэтому матрица будет всегда положительна и обратно симметрична. Причем для ее заполнения необходимо провести n (n -1)/2 суждений.

Когда проблемы представлены иерархически, матрица составляется для сравнения относительной важности критериев на втором уровне, по отношению к общей цели на первом уровне:

	А1	А2	…	Аn
A1
A2
....
An

Аналогичные матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне, по отношению к факторам (критериям) второго уровня:

Ai	K	L	M
K
L
M

4. синтез приоритетов

Из матрицы парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.

Для этого предварительно рассчитывают компоненты собственного вектора каждой i строки:

 

После того как рассчитаны компоненты собственного вектора каждой строки a_i необходимо нормализировать результат для получения оценки вектора приоритетов. Для этого рассчитывается сумма собственных векторов S = a ₁ + a ₂ +...+ a_n  и значение каждого собственного вектора делится на полученную сумму

x₁= а ₁ /S, x₂= а ₂ /S,...., x_n= а _n /S,

Умножение матрицы А на вектор нормируемых приоритетов осуществляется следующим образом:

 

w1/w1	w1/w2	...	w1/wn		x1		w1/w1* x1+ w1/w2* x2+...+ w1/wn* xn		Y1
w2/w1	w2/w2	...	w2/wn1	*	х 2	=	w2/w1* x1+ w2/w2* x2+...+ w2/wn* xn	=	Y2
...	...	...	....		…		...................................		...
wn/w1	wn/w2		wn/wn		xn		wn/w1* x1+ wn/w2* x2+...+ wn/wn* xn		Yn

5. вычисление глобальных приоритетов, наибольшего собственного значения матрицы суждений, индекса согласованности и отношения согласованности;

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Порядок синтеза состоит в следующем. Локальные приоритеты перемножаются на приоритеты соответствующего фактора (критерия) на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с факторами, на которые воздействует элемент матрицы. Полученные глобальные приоритеты позволяют путем сравнивания принять решение.

Индекс согласованности (ИС) может быть получен следующим способом. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину перовой компоненты нормализированного собственного вектора, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются. Таким образом, получается величина л_max. Тогда ИС рассчитывается по формуле:

ИС =( л _max – n)/(n -1)

n – число сравниваемых приоритетов.

Если ИС разделить на случайную согласованность матрицы того же порядка, получится отношение согласованности (ОС)

 

Размер матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Случайная согласованность	0	0	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Считается, что ОС должно быть в пределах 10-20%.

 

Лабораторная работа №1

Определение количества экспертов и их компетентности

 

       Задача 1. Постановка задачи.

Имеется 200 специалистов или экспертов (генеральная совокупность), которые по своим профессиональным качествам могут быть использованы в оценке параметров системы (например, прогноза, качества). По организационным причинам для экспертизы можно пригласить только 25 экспертов. Экспертом считается специалист, проработавший в данной области не менее 15 лет (гипотезы). Доля (вероятность) таких специалистов равна 0,5. Необходимо определить объем выборки из 200 специалистов с числом экспертов со стажем не менее 15 лет с вероятностью равной р = 0,9973 при 10% уменьшении точности выборки.

 

Решение.

1) Найдем ошибку репрезентативности

 

2) Уменьшим точность выборки на 10%.

3) Определим численность экспертной группы

Ответ. Репрезентативной выборкой (с вероятностью 0,9973) из 200 экспертов при данной гипотезе будет выборка из 20 человек.

 

Задание для самостоятельного решения. Имеется 120 специалистов или экспертов (генеральная совокупность), которые по своим профессиональным качествам могут быть использованы в оценке параметров системы (например, прогноза, качества). По организационным причинам для экспертизы можно пригласить только 20 экспертов. Экспертом считается специалист, проработавший в данной области не менее 17 лет. Доля (вероятность) таких специалистов равна 0,3. Необходимо определить объем выборки из 120 специалистов с числом экспертов со стажем не менее 17 лет с вероятностью равной р = 0,9973 при 15% уменьшении точности выборки.

 

       Задача 2. Компетентность может быть определена способом самооценки эксперта:

 

, где  – вес градации, указанной экспертом по j-му критерию компетентности,  – максимальный вес по j-му критерию, m – общее количество критериев компетентности в анкете,  – самооценка эксперта в баллах, Р – предел шкалы самооценки в баллах.

 

Постановка задачи. Для определения качества некоторой операционной системы требуется привлечь специалистов, компетентность которых предлагается определить по 5 критериям:

- знание языков программирования (1),

- свободное владение английским языком (2),

- умение пользоваться автоматизированными системами (3),

- свободное владение математическими методами моделирования (4),

- обладание способностями скорочтения (5).

Четырем экспертам предложено определить важность каждого из 5 критериев по интервальной шкале, указав число от 0 до 1. Результаты приведены в таблице

Специалист	Результаты шкалирования признаков
	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
Иванов	0,3	0,8	0,6	0,1	0,05
Петров	0,5	0,6	0,8	0,3	0,2
Сидоров	0,7	0,9	0,9	0,0	0,3
Мурашко	0,8	0,7	0,9	0,25	0,0
max	0,8	0,9	0,9	0,3	0,3

Также эксперты оценили свою компетентность в области знания операционных систем по 100-бальной шкале:

Иванов	80
Петров	75
Сидоров	90
Мурашко	65

Требуется определить компетентность специалистов.

 Решение

Определим компетентность специалистов

 

 

 

 

Лабораторная работа № 2

Методы обработки результатов экспертизы

 

       Задача 1. Используя ранги, установленные экспертом, определить стандартизированные ранги.

Номер объекта	Ранг
1	2
2	2
3	1
4	3
5	5
6	4
7	5
8	5

 

Решение. Проверим условие: 2+2+1+3+5+4+5+5=27, 8*(8+1)/2=36, 27 не равно 36, значит, ранги не стандартизированы.

Способ 1. Стандартизированный ранг равен среднему арифметическому повторяющихся рангов.

 

Номер объекта	Ранг	место	Стандартизированный ранг
1	2	2	=($C$2+$C$3)/2
2	2	3	=($C$2+$C$3)/2
3	1	1	1
4	3	4	4
5	5	6	=($C$6+$C$8+$C$9)/3
6	4	5	5
7	5	7	=($C$6+$C$8+$C$9)/3
8	5	8	=($C$6+$C$8+$C$9)/3

 

Способ 2.

 

 

Задача 2. Установить степень важности факторов для решения некоторой проблемы, т. е. рассчитать результирующие ранги по полученным результатам экспертного опроса (самому важному фактору эксперт ставит ранг 1).

 

Эксперты	Факторы(объекты)
	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10
1	4	4	3	3	4	2	5	4	5	5
2	7	2	5	6	1	4	3	2	7	4
3	4	2	6	7	5	3	1	7	4	2
4	8	3	7	8	4	7	6	5	1	2
5	1	2	4	3	3	5	2	3	7	6

 

Решение. Определим места факторов по порядку следования рангов для каждого эксперта (способы 1, 2).

 

Эксперты	Места факторов (объектов)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	4	5	2	3	6	1	8	7	9	10
2	9	2	7	6	8	1	5	4	3	10
3	5	2	8	9	7	4	1	10	6	3
4	9	3	7	10	4	8	6	5	1	2
5	1	2	7	4	5	8	3	6	10	9

 

 

Эксперты