Средние величины в порядковой шкале

Рассмотрим обработку мнений экспертов, измеренных в порядковой шкале. Справедливо следующее утверждение.

Из всех средних по Коши допустимыми средними в порядковой шкале являются только члены вариационного ряда (порядковые статистики). Это утверждение справедливо при условии, что среднее f(X₁, X₂,…, X _n) является непрерывной (по совокупности переменных) и симметрической функцией. Последнее означает, что при перестановке аргументов значение функции f(X₁, X₂,…, X _n) не меняется. Это условие является вполне естественным, ибо среднюю величину мы находим для совокупности (множества), а не для последовательности. Множество не меняется в зависимости от того, в какой последовательности мы перечисляем его элементы.

В качестве среднего для данных, измеренных в порядковой шкале, можно использовать, в частности, медиану (при нечетном объеме выборки). При четном же объеме целесообразно применять один из двух центральных членов вариационного ряда - как их иногда называют, левую медиану или правую медиану. Моду, максимум, минимум, квартили тоже можно использовать - они всегда являются членами вариационного ряда. Но никогда нельзя разрабатывать управленческое решение на основе среднего арифметического или среднего геометрического.

Средние по Колмогорову

Естественная система аксиом (требований к средним величинам) приводит к так называемым ассоциативным средним. Их общий вид нашел в 1930 г. А.Н.Колмогоров. Теперь их называют "средними по Колмогорову".

Для чисел X₁, X₂,…, X _n среднее по Колмогорову вычисляется по формуле

G(F(X₁)+ F(X₂)+…+ F(X _n))/ n,

где F - строго монотонная функция (т.е. строго возрастающая или строго убывающая), G - функция, обратная к F.

Среди средних по Колмогорову - много хорошо известных персонажей. Так, если F(x)=x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x)=ln x, то среднее геометрическое, если F(x)=1/x, то среднее гармоническое, если F(x)=x², то среднее квадратическое, и т.д. (в последних трех случаях усредняются положительные величины).

Использование среднего по Колмогорову в шкалах:

· В шкале интервалов. При справедливости некоторых условий регулярности в шкале интервалов из всех средних по Колмогорову допустимым является только среднее арифметическое. Таким образом, среднее геометрическое или среднее квадратическое температур (в шкале Цельсия), потенциальных энергий или координат точек не имеют смысла. В качестве среднего надо применять среднее арифметическое. А также можно использовать медиану или моду - они не входят в число средних по Колмогорову.

· В шкале отношений. При справедливости некоторых условий регулярности в шкале отношений из всех средних по Колмогорову допустимыми являются только степенные средние с F(x)=x^c, где c не равно нулю, и среднее геометрическое. Средним по Колмогорову с F(x)=e^x нельзя пользоваться в шкале отношений.

 

Аналогично средним величинам могут быть изучены и другие статистические характеристики - показатели разброса, связи, расстояния и др. Нетрудно показать, например, что коэффициент корреляции не меняется при любом допустимом преобразовании в шкале интервалов, как и отношение дисперсий. Дисперсия не меняется в шкале разностей, коэффициент вариации - в шкале отношений, и т.д.

Приведенные выше результаты о средних величинах широко применяются, причем не только в теории принятия решений, но и в экономике, менеджменте, экспертных исследованиях, социологии, инженерном деле. Например, велико прикладное значение теории измерений в задачах стандартизации и управления качеством, в частности, в квалиметрии.

Контрольные вопросы

Всегда ли имеет смысл складывать числа, используемые в той или иной области человеческой деятельности?

Приведите примеры величин, измеренных в шкале наименований.

Приведите примеры величин, измеренных в порядковой шкале.

Приведите примеры величин, измеренных в шкале интервалов.

Приведите примеры величин, измеренных в шкале отношений.

Какие средние величины целесообразно использовать при расчете средней заработной платы (или среднего дохода)?