Мозг создан не для математики

 

Рассматривая темы зрения и слуха, мы уже убедились в том, что мозг довольно легко обмануть. Он прекрасно справляется с многими видами деятельности, но зачастую, когда мы включаем в свой репертуар задачи, появившиеся в нашей жизни уже после того, как мозг сформировался в процессе эволюции, у него возникают трудности.

В число таких задач, к которым мозг не подготовлен всем предыдущим эволюционным развитием, входит работа с числами. Ваш домашний компьютер безнадежно проигрывает вам при решении множества задач, с которыми вы справляетесь играючи. Но попросите его извлечь квадратный корень из 5 181 408 324, и он даст ответ прежде, чем вы успеете почесать затылок (разумеется, это 71 982). Люди для этого не приспособлены. Математика не относится к числу их природных умений.

Это становится очевидным, когда дело касается теории вероятности и математической статистики. С определением вероятности наступления того или иного события нам приходится иметь дело каждый день, а статистические данные постоянно обрушиваются на нас из новостей и выступлений политиков, но наш мозг, привыкший использовать в мышлении образы и модели, испытывает огромные трудности, пытаясь совладать со всеми этими числами и подсчетами шансов.

Я хочу привести три примера, когда мозг буквально приходит в замешательство и отказывается верить сухим цифрам и фактам.

 

Откройте дверь

 

В 60‑е годы на американском телевидении пользовалось популярностью игровое шоу «Давайте поспорим», которое вел Монти Холл. Его формат был построен на задачах из области теории вероятности, которые ярко демонстрировали, насколько тяжело людям с ними справляться.

Представьте себе, что вы участвуете в финальной игре «Давайте поспорим». Ведущий подводит вас к трем дверям. За двумя из них стоят козы (только не спрашивайте меня, почему именно они), а за третьей – автомобиль. Вы хотите выиграть автомобиль, но не знаете, за какой дверью он находится. Ведущий просит вас выбрать одну дверь, но пока не открывать ее. У вас есть один шанс из трех, что вы выбрали автомобиль, и два шанса из трех, что козу.

После этого ведущий открывает одну из двух других дверей и показывает вам, что там коза. А теперь он предоставляет вам право выбора. Вы можете остаться при своем прежнем решении или открыть другую оставшуюся дверь. Как вы поступите? Меняются ли при этом ваши шансы на выигрыш? Что в данном случае лучше: сохранить верность первоначальному решению или поменять его?

Мы понимаем, что после того, как открыта одна из дверей, и мы убедились, что за ней стоит коза, у нас остаются всего две двери. За одной из них находится автомобиль, а за другой – коза. Представляется совершенно очевидным, что шансы составляют 50:50, какую бы дверь вы ни выбрали. И это ошибка. На самом деле шансы возрастают вдвое, если вы откажетесь от первоначального решения и выберете другую дверь.

Если этот вывод кажется вам абсурдным, то вы отнюдь не одиноки. В свое время писательница Мэрилин вос Савант вела в журнале «Parade» рубрику, где отвечала на вопросы читателей. В 1990 году ей был задан этот вопрос, и она дала приведенный выше ответ: лучше поменять решение. После этого читатели засыпали ее тысячами откликов, в которых убеждали ее в том, что она не права и что шансы равны. Некоторые письма подобного рода приходили даже от математиков и других ученых.

Если вы построите компьютерную модель этого задания и попробуете проделать опыт сами, то убедитесь, что действительно лучше поменять решение. Но ведь это полностью противоречит логике! Однако, решая эту задачу, необходимо учитывать один очень важный момент: ведущий открывает дверь не случайно. Он точно знает, что за ней стоит коза. А теперь вернитесь к тому моменту, когда вы принимали первое решение. Ваш шанс выиграть автомобиль составляет 1:3. Другими словами, вероятность того, что автомобиль стоит за одной из двух других дверей, равна 2:3. После того как ведущий открывает одну из дверей, эта вероятность 2:3 по‑прежнему сохраняется, только теперь она распространяется всего на одну оставшуюся дверь. Если же вы захотите открыть первоначально выбранную дверь, то ваш шанс, как и прежде, будет 1:3. Поэтому лучше выбрать третью дверь.

 

Задача с двумя мальчиками

 

Как ни странно, схожая ситуация, вызвавшая непонимание и даже возмущение читателей, возникла и с другим вопросом в рубрике вос Савант. Задача очень проста: «У меня двое детей, и один из них мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность, что у меня два мальчика?» Однако для того, чтобы решить эту задачу, давайте сначала сделаем шаг назад и упростим ее: «У меня двое детей, и один из них мальчик. Какова вероятность, что у меня два мальчика?»

Первым делом в голову приходит мысль: «Один из детей – мальчик. Следовательно, второй может быть либо мальчиком, либо девочкой. Таким образом, шансы составляют 50:50. Вероятность того, что в семье два мальчика, равна 50 процентам».

К сожалению, ответ неверен.

Чтобы это понять, надо составить простую схему. В левую часть мы поместим старшего ребенка. Это может быть либо мальчик, либо девочка. Вероятность 50:50. В правой части у нас окажется младший ребенок. Для каждой из указанных выше возможностей это опять‑таки будет мальчик или девочка. Вероятность каждой из четырех возможных комбинаций составляет 25 процентов.

Все комбинации, за исключением «девочка – девочка», соответствуют условию задачи: «У меня двое детей, и один из них мальчик». Итак, у нас осталось три одинаково вероятные возможности, в каждой из которых один ребенок – мальчик. Вероятность того, что оба ребенка мальчики – это всего лишь один вариант из трех, то есть шансы составляют 1:3.

 

Потенциальные комбинации детей

 

Если вас это удивляет, то вспомните условие задачи: «Один из них мальчик». Здесь ничего не говорится о том, старший он или младший. Вот если бы мы сказали что «старший из них мальчик», тогда здравый смысл совпал бы с теорией вероятности. Если старший ребенок мальчик, то остаются только два варианта с равной вероятностью: второй ребенок может быть либо мальчиком, либо девочкой, следовательно, вероятность равна 50:50.

Теперь вы уже готовы решить полную версию задачи: «У меня двое детей, и один из них мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность, что у меня два мальчика?» Внутренний голос подсказывает вам: «Дополнительная информация о дне недели не имеет никакого значения. Решение остается прежним: шансы на то, что в семье два мальчика, составляют один к трем». Однако, как ни удивительно, вероятность в данном случае составляет 13:27, то есть довольно близка к 50:50.

Для пояснений надо было бы нарисовать еще одну схему, но мне не хочется себя утруждать, поэтому вам придется ее представить. В левую часть схемы поместим 14 детей: первый мальчик, родившийся в воскресенье, первый мальчик, родившийся в понедельник, первый мальчик, родившийся во вторник… первая девочка, родившаяся в воскресенье и такдалее вплоть до первой девочки, родившейся в субботу.

У каждого из этих детей будет по 14 вариантов младших братьев или сестер: второй мальчик, родившийся в воскресенье, и т. д.

Итак, у нас есть 196 комбинаций, но, к счастью, большую часть из них мы можем сразу вычеркнуть. Нас интересуют только комбинации, в которых присутствует мальчик, родившийся во вторник. Таким образом, у нас остается пункт в левой части «первый мальчик, родившийся во вторник», с четырнадцатью возможными вариантами, а также еще 13 вариантов, в которых присутствует второй мальчик, родившийся во вторник. Итого 27 комбинаций. В скольких из них присутствуют два мальчика? В половине из первых четырнадцати вариантов и в шести из оставшихся тринадцати. Итого 13 (7 + 6). Тринадцать комбинаций дают нам двух мальчиков. Таким образом, вероятность того, что в семье два мальчика, составляет 13 к 27.

Здравый смысл протестует. Выходит, что, назвав день недели, в который родился один из мальчиков, мы увеличиваем вероятность рождения второго мальчика. Но ведь с тем же успехом мы могли бы назвать любой день недели. Почему так получается? Потому что, введя в качестве дополнительной информации день рождения, мы сразу отсекаем массу возможностей. Добавление любой информации фактически равносильно тому, что мы приходим к ситуации, в которой мальчиком является старший ребенок.

Теория вероятности абсолютно верна, и вы, если хотите, можете это доказать, смоделировав ситуацию на компьютере. Все цифры сойдутся. Но ум отказывается в это верить. Как вам это нравится? (Вообще‑то, истины ради, стоило бы добавить, что представленная картина не совсем соответствует реальности. Решая задачу, мы исходили из того, что обычно мальчиков и девочек рождается поровну и что их появление на свет равномерно распределяется по всем дням недели. На самом деле это не совсем так, но данные обстоятельства уже выходят за рамки предлагаемого упражнения.)

 

Тест на понимание

 

Приведенные выше две ситуации могут произойти в реальной жизни. Например, задание из шоу Монти Холла про коз и автомобиль с некоторыми вариациями было использовано профессиональными азартными игроками на одном из круизных пароходов, курсирующих по Миссисипи. Воспользовавшись тем, что здравый смысл подсказывал их противникам шанс 50:50, они сумели сорвать большой куш. Однако третий пример, демонстрирующий неспособность нашего мозга решать задачи, связанные с теорией вероятности и статистикой, намного более важен для жизни, так как касается результатов медицинских тестов. С этими трудностями сталкиваются не только врачи, но и все мы.

Предположим, существует медицинский тест, позволяющий диагностировать определенную болезнь, и точность его результатов составляет 95 процентов. Следовательно, мы имеем дело с весьма надежным тестом. Предположим далее, что этой болезнью в данный момент страдает один из тысячи человек. Врачи подвергают тестированию один миллион случайно отобранных людей, включая и вас. Если ваш результат окажется положительным, то какова вероятность, что вы действительно больны?

Здравый смысл подсказывает, что если точность теста составляет 95 процентов, то и вероятность болезни у вас тоже равна 95 процентам. Однако в действительности ситуация далеко не так трагична. Статистика говорит, что среди миллиона обследованных людей должно быть примерно 1000 больных. Из них 950 получат по итогам обследования подтверждение, что у них есть это заболевание (и это действительно так), а у 50 результат окажется отрицательным, хотя они на самом деле больны (поскольку точность теста составляет лишь 95 процентов). Оставшиеся 999 000 здоровы, и 949 050 человек получат этому подтверждение (совершенно правильное), но у 49 950 человек результат теста окажется положительным (пятипроцентная вероятность ошибки).

А это значит, что из 50 900 положительных результатов 98 процентов не соответствуют действительности. Таким образом, даже если вы получите положительный результат по итогам обследования, то вероятность наличия у вас болезни составит всего 2 процента. Конечно, в этом примере использованы очень большие числа, но каждый раз, когда вы сталкиваетесь с тестом, с помощью которого исследуются сравнительно редкие состояния, то велика вероятность, что большинство полученных результатов окажется неверными. А следствием этого могут быть и испорченные нервы, и необходимость повторных проверок, таящих в себе потенциальную опасность. Поэтому речь идет не о такой уж безобидной ситуации. Повторю еще раз: наш мозг не приспособлен для того, чтобы хорошо разбираться в оценке вероятности.

 

Что же из этого следует?

 

Как только вы сталкиваетесь со статистикой и необходимостью оценки вероятности, следует отступить на шаг назад и постараться понять ситуацию. Убедитесь, что люди, предъявляющие вам статистические данные, сами правильно их понимают. Ведь слишком часто правительственные учреждения, газеты и телевидение допускают те же ошибки с теорией вероятности и статистикой, что и мы с вами.

Один из способов проверки статистической информации заключается в том, чтобы взглянуть на ситуацию несколько шире. Прежде чем пугаться цифр, соберите дополнительные данные. Допустим, вам говорят, что за последний год уровень насильственной преступности в вашем районе вырос на 100 процентов. Похоже, имеет смысл переселиться куда‑нибудь подальше. Но лучше было бы поинтересоваться цифрами, которые легли в основу этого утверждения. Если в прошлом году было совершено одно преступление такого рода, а в этом году два, то это тоже означает 100‑процентный рост, но действительность в данном случае оказывается не такой страшной, как статистика.

Вам также надо быть начеку, когда вы испытываете воздействие сразу на несколько чувств. В конце 1990‑х годов был проведен прекрасный эксперимент: прохожих останавливали на улицах и спрашивали, как пройти в то или иное место. Пока человек рассматривал карту, один из экспериментаторов под видом рабочего нес по улице большую дверь. Проходя между собеседниками, он незаметно менялся местами с тем, кто спрашивал дорогу. Примерно 50 процентов участников так и не заметили, что продолжают разговор уже с совершенно другим человеком. Они были слишком сосредоточены на поставленной задаче. Обычно мы уделяем значительно меньше внимания тому, что происходит вокруг нас, чем считает следователь, допрашивающий нас в качестве свидетеля.

 

Запомните это

 

Память нас тоже нередко подводит. Ваша личность в значительной степени состоит из воспоминаний. Без них вы не были бы тем, кем являетесь в данный момент. Однако довольно существенная часть бережно хранимых вами воспоминаний не соответствует действительности. Какие‑то из них сформировались спустя долгое время после событий, которых они касаются. Нередко толчком для этого становится не само событие, а фотография или видеофильм о нем. На другие воспоминания оказывает влияние наше отношение к событиям. Например, мы склонны запоминать только что‑то выходящее за рамки привычного, поэтому считаем, что все лето было очень теплым, хотя в памяти сохранился только один жаркий день. Мы также лучше запоминаем последние по времени события, поэтому, если после целого месяца хорошей погоды вдруг случилась ненастная неделя, начинаем жаловаться, что лета в этом году вообще не было.

Еще одна проблема с памятью заключается в том, что она основана на вашей способности наблюдать и фиксировать информацию, но, как мы уже видели, мозг конструирует из поступающих сигналов весьма субъективные образы. Зачастую это приводит к тому, что вы «видите» то, чего на самом деле нет, но в вашей памяти данное событие сохраняется как «факт».

Недавно один знакомый сказал мне, что видел, как я гулял с собакой и разговаривал по мобильному телефону. Но дело в том, что меня в тот день не было дома и собаку я не выгуливал. В ряде случаев злые шутки, которые может сыграть с нами наблюдательность, восприятие и память, таят в себе немалую опасность. Представьте себе, что этот мой знакомый дает показания в суде в связи с расследованием убийства. Он готов под присягой подтвердить, что видел меня, хотя меня там быть не могло. Поэтому приговоры судов, вынесенные исключительно на основе свидетельских показаний, особенно если с момента описываемых событий прошло много времени, всегда вызывают некоторое сомнение.

 

Эксперимент: считаем пасы

 

Этот эксперимент хорошо известен, но я советую все же принять в нем участие. Зайдите н на сайт www.universeinsideyou.com, выберите раздел Experiments и в нем тему Counting the passes. Даже если вам уже приходилось видеть нечто подобное, досмотрите, пожалуйста, до конца, так как это новая версия и она будет вам интересна. Перед вами стоит задача подсчитать, сколько пасов отдадут игроки в белых майках. Если игра быстрая и динамичная, то вести подсчеты и одновременно удерживать результаты в памяти довольно трудно, поэтому от вас потребуется полная концентрация.

Примерно 50 процентов людей либо сбиваются со счета, либо не могут уследить за другими событиями, демонстрируемыми в этом коротком видеоролике. Стоит ли удивляться, что мозг так часто нас подводит? Иногда подобные ошибки не дают повода для беспокойства и служат, скорее, для развлечения. Так, например, многим доставляют удовольствие оптические иллюзии. Однако не забывайте о том, что возможности мозга все‑таки ограничены и вспомнить что‑либо в нервозной обстановке будет сложновато.

Память может подвести в самых неожиданных ситуациях. Бывает, что мы ясно помним лицо, а имя человека – нет. Можно даже забыть свой номер телефона, хотя мы вроде бы постоянно держим в памяти эту последовательность цифр. Но курьезнее всего случаи, когда человек знает, что ему надо что‑то вспомнить, но забыл, что именно.

 

Мозг – это не компьютер

 

Одной из причин того, почему мы так слабо разбираемся в вопросах памяти, являются компьютеры, которые прочно вошли в нашу жизнь. Мы полагаем, будто существует некая аналогия между памятью компьютера и человека. Однако между ними нет ничего общего.

Компьютерная память основана на последовательности сигналов – нуля и единицы, которая записывается и хранится в определенном месте. У каждой информации есть точный адрес. Вы можете обратиться по этому адресу и найдете то, что ищете. Это очень удобно, когда вам нужно найти, например, чей‑то номер телефона. Компьютер никогда его не забудет, даже в спешке. В то же время ваша память не хранит воспоминания в определенном участке мозга и не располагает точным маршрутом, который приведет к искомой информации. Все данные мозг хранит в виде моделей и образов. Именно поэтому порой мы испытываем трудности с запоминанием телефонных номеров, но зато нам намного легче, чем компьютеру, распознать знакомое лицо.