Последовательности и ряды функции комплексных переменных.

I. Последовательность функций комплексных переменных строится следующим образом

Опр 1. Последовательность сходиться в точке , если сходится соответствующая числовая последовательность . Последовательность называется сходящейся в каждой точке этой области.

Сходимость последовательности в функции комплексных переменных равносильна сходимости 2-м последовательности действия ф-ии .

Следовательно, все свойства последовательностей ф-ий справедливы и для сходящихся последовательности в ТФКП.

II. Ряды функции комплексных переменных

Ряд комплексной ф-ии строится:

(6.1)

Ряд (6.1) называется сходящийся в точке , если сходится соотв. числовое

Ряд (6.1) называется сходящимся в обл , если он сходится в каждой точке этой области.

Опр 3. Множество т.z в которых ряд сходится - называется областью сходимости ряда, а предельная ф-ия F (z) называется суммой ряда.

Опр 4. Ряд (6.1) называется сходящимся равномерно F (z), если последовательность его частичных сумм  сходится равномерно к ф-ии в обл. .

Доказано, что сходимости или расходимость рядов функции комплексных переменных эквивалентно сходимости или расходимости двух рядов действительной ф-ии

Таким образом, все свойства сходящихся рядов действительной ф-ии. Справедливы и для сходимости рядов функции комплексных переменных.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Опр 5. Ряд  , где  называется степенным

С помощью замены переменных  степенной ряд приводится в виду  поэтому без ограничения общности можно считать, что чтепенной ряд имеет вид: (6.2)

Область сходимости степенного ряда яв-ся: 1. Одна точка, 2. Круг, 3. Вся комплексная плоскость

Первая теорема Абеля. Если степенной ряд (6.2) сходится в т.  то, 1) этот ряд сходится абсолютно в круге ; 2) в круге  ряд сходится равномерно  Следствие из теоремы: если степенной ряд (6.2) в точке  расходится, то этот ряд расходится в области

Доказательство:

Теорема

Для любого степенного ряда (6.2) существует число  зависящая от ряда такая что: 1) в круге  ряд сходится, 2) в области  ряд расходится

 

                                          

 

Предельные случаи:

R=0 – ряд сходится в точке , ряд расходится в обл-и

 - ряд сходится всюду в

Опр 2. Число Rудобл. условиям теоремы называется радиусом сходимости ряда (6.2).круг K называется кругом сходимости ряда.

Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости R

Замечание! На границе круга К ряд (6.2) в некоторых точках может расходится, а в некоторых точках может сходится требуются дополнительные исследования.