Интегралы от функции комплексных переменных.

Пусть кусочно-гладкая ориентированная кривая имеющая длину  в концах а и b, если а=b, то кривая -замкнутая.

Пусть на любой заданны функция f(z), произведено разбиение кривой

Возьмем произвольным образом величину  и составим интегральную сумму

Определение 1:Если существует предел при () и этот предел не зависит от способа стремления (способа деления кривой на части) то этот предел называется интегралом от функции f(z) по контуру  .

Если  замкнутая кривая, то  замкнутый контур.

Свойства Интегралов:

1)Интеграл зависит от ориентации кривой, если направление -от a к b, то

2)Задание интеграла от функции комплексных переменных эквивалентно заданию 2-х вещественных криволинейных интеграла.

f(z)=U(x,y)+iV(x,y)

Доказательство:

 

Dz=d(x+iy)=dx=idy

3)Свойство линейности интеграла

Если функция  ,k=  , интегрируемые на контурах  ,то

4)Свойство аддиативности интеграла относительно контура

Если  можно представить в виде объединения промежутков (, причем контуры  пересекаются но не имеют общих частей, то интеграл от функции:

5)Оценка модуля интегралов:

M=maxf(z), -длина .

6)Если функция f(z) и интегрируемые на  причем  ,

7)Переход к пределу по знаку интеграла.

Если на  заданны последовательность интегрируемых функций  , равномерно сходящихся  же интегрируемая по  , то

8)Почленное интегрирование равномерно сходящегося ряда

Если на  заданна равномерно сходящиеся ряд с c предельной функцией f(z) и все функции  и f(z) интегрируемы на  , то

 

 

Интегральная теорема Коши и ее обобщения.

Теорема: пусть D - ограниченная односвязная область, f(z) - аналитична в D, γ - произвольный замкнутый гладкий контур, принадлежащий области D, тогда

Другая формулировка теоремы: если функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области D, то ее интеграл не зависит от пути интегрирования, а лишь от пределов интегрирования(концов кривой) a и b.

Доказательство эквивалентности двух формулировок теоремы: , (  - движение по  осуществляется в противоположном направлении).

Тогда по свойству 4(в.11) , по свойству 1

Доказательство того, что из второй формулировки следует первая проводится в обратном порядке.

Обобщение 1. Пусть D - односвязная ограниченная область с кусочно-гладкой границей . Функция f(z) аналитична в области и непрерывна в замкнутой области , тогда

Обобщение 2. Пусть D - многосвязная ограниченная область с кусочно-гладкой границей . Функция f(z) аналитична в области и непрерывна в замкнутой области , тогда