К изопроцессам. Адиабатический процесс

Адиабатический процесс – это процесс, протекающий в системе, которая не обменивается теплотой с окружающей средой (δ Q = = 0.) Следовательно, , или .

Уравнения Пуассона:

; ; ; .

Работа газа при изопроцессах:

1) изобарический процесс (р = const)

;

2) изотермический процесс (Т =const)

, , ;

3) адиабатический процесс

  

или

,

где   – показатель адиабаты.

 

Энтропия. Второе начало термодинамики.

 Круговой процесс. Цикл Карно

 Термический коэффициент полезного действия цикла

,

где Q ₁ – теплота, полученная рабочим теломот нагревателя; Q ₂ – теплота, переданная рабочим телом охладителю.

Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

,

где T ₁ и T ₂ – термодинамические температурынагревателя иохладителя соответственно.

Энтропия термодинамической системы может быть вычислена по формуле Больцмана:

,

где S – энтропия; W – термодинамическая вероятность состояния системы; k – постоянная Больцмана.

Приращение энтропии в процессах идеального газа

, ,

где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы.

М еханика жидкостей

Коэффициент поверхностного натяжения жидкости равен

 или

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур, ограничивающий поверхность жидкости; D E – изменение свободной поверхностной энергии пленки жидкости, связанное с изменением площади Δ S поверхности этой пленки.

Формула Лапласа (выражает давление p, создаваемое сферической поверхностью жидкости)

,

где R – радиус сферической поверхности.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

 ,

где J – краевой угол (J = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью; J = p при полном несмачивании); R – радиус канала трубки; r – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями равна

,

где d – расстояние между плоскостями.

 

Примеры решения задач

Задача 2.1. Найти импульс m u молекулы водорода при температуре Т = 300 К. Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости.

Дано: m = 0,002 кг/моль N A = 6,02×1023 моль -1 Т = 300 К υ = < υ кв>	СИ
mυ =?

Решение.

Масса молекулы водорода

где m– молярная масса, для водорода m = 0,002 кг/моль; N _A– постоянная Авогадро, N _A = 6,02×10²³ моль ^-1.

Средняя квадратичная скорость молекулы

.

Импульс молекулы равен:

.

Ответ: .

Задача 2.2. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 45кПа составляет 0,38 кг/м³.

Дано: р = 45 к Па r = 0,38 кг/м3	СИ 4,5×104 Па
υ в =?

Решение.

1. Наиболее вероятная скорость молекул газа равна

,                         (1)

где m– молярная масса, R – молярная газовая постоянная.

2. Плотность газа равна

,                                              (2)

3. Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона

,

откуда с учетом (2) получим

  .                                     (3)

4. Подставим (3) в (1), получим

.                                           (4)

5. Подставим в (4) числовые значения:

.

Ответ: υ _в = 486,67 м/с.

Задача 2.3. Азот массой m = 7 г при температуре Т ₁ = 290 К находится под давлением р ₁ = 0,1 МПа. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем V ₂= 10 л. Найти: 1) объем V ₁ газа до расширения; 2) температуру t ₂ газа после расширения; 3) плотности газа до и после расширения.

Дано: µ = 2,8·10-2 кг/моль m = 7·10-3 кг р 1 = 105 Па = const T 1 = 290 К V 2 = 10 л р 2 = р 1	СИ     10-2 м3
V 1 =?; t 2 =?; ρ1 =?; ρ2 =?

Решение.

1. Найдем объем газа до расширения, используя уравнение Менделеева–Клапейрона:

,

отсюда

.              (1)

2. Записав уравнение Менделеева–Клапейрона для конечного состояния, найдем температуру Т ₂:

, ,

тогда

                         (2)

3. Подставим в (1), (2) числовые значения

;

.

4. Плотности газа до и после расширения равны, соответственно:

, .                                  (3)

5. Подставим в (3) числовые значения:

, .

Ответ: V ₁ = 6,02 л; t ₂ = 208 °С; ρ₁ = 1,16 кг/м³; ρ₂ = 0,7 кг/м³.

Задача 2.4. В баллоне объемом V = 15 л находится аргон под давлением р ₁= 600 кПа и температуре Т ₁= 300 К. Когда из баллона было взя­то некоторое количество аргона, давление в баллоне понизилось до р ₂ = 400 кПа. Температура в баллоне понизилась до Т ₂= = 270 К. Определить массу D m аргона, взятого из баллона.

Дано: m = 40 г/моль V = 15 л р 1= 600 кПа Т 1= 300 К р 2 = 400 кПа Т 2= 270 К	СИ 40×10-3 кг/моль 15 м3 6∙105 Па   4∙105 Па
D m =?

 Решение:

1.Запишем уравнением Менделеева–Клапейрона для начального и конечного состояния газа:

         (1)

      (2)

где m– молярная масса аргона, R – молярная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/К×моль.

2. Выразим из (1) и (2) массу аргона в начальном и конечном состояниях, учитывая, что V ₁ = V ₂ = V:

      .

3. Найдем искомую массу D m:

Ответ: D m = 37,5 г.

Задача 2.5. В сосуде вместимостью V = 0,3 л при температуре Т = 290 К находится некоторый газ. Считая температуру газа постоянной, Найти, на сколько понизится давление газа в сосуде, если из него из-за утечки выйдет Δ N = 10¹⁹ молекул?

Дано: T = 290 К V = 0,3 л Δ N = 1019	СИ   3·10-4 м3
Δ р =?

Решение:

1. Запишем уравнения Менделеева–Клапейрона для начального (до утечки) и конечного (после утечки) состояний газа:   

,                      (1)

,                                       (2)

2. Выразим из уравнений (1) и (2) давления р ₁ и р ₂ и изменение давления Δ р:

.             (3)

3.Так как , то число молей газа, вытекших из сосуда:

.                                 (4)

4. С учетом (4) получим из уравнения (3)

.                                  (5)

5. Учитывая, что R = kN _A, получим из (5) окончательно

.                                   (6)

6. Подставим в (6) числовые значения:

  Ответ: ΔР = 133,4 Па.

Задача 2.6. Пылинки массой m = 10^{-21 кг взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается на 1 % (). Считать, что температура во всех слоях воздуха одинаковая и равна Т = 300 К.}

Дано: m = 10-21 кг Т = 300 К	СИ   0,2 м
∆h =?

 Решение:

1. Поскольку концентрация пылинок равномерно изменяется с высотой h, применим формулу Больцмана

,

где U – потенциальная энергия частиц, U = = mgh; k – постоянная Больцмана, k = = 1,38×10^-23 Дж/К.  В итоге получим

.                            (1)

2. По условию задачи D n << n (), поэтому заменим изменение концентрации D n на дифференциал dn. Продифференцируем (1) по h:

.

3. Так как , то получим

.                                      (2)

4. Выразим из (2) искомую толщину слоя:

.                                       (3)

5. Знак минус в (3) показывает, что с увеличением высоты (dh > 0), концентрация молекул падает, поэтому D n < 0. Опустим знак минус (в данной задаче он не существенен) и заменим дифференциалы конечными приращениями:

.                                         (4)

6. Подставим в (4) числовые значения:

Ответ:

Задача 2.7. В сосуде объемом V = 2 л находятся масса m ₁ = 6 г углекислого газа (СО₂) и масса m ₂ = 5 г закиси азота (N₂О) при температуре t = 127 °С. Найти давление смеси в сосуде.

Дано: V = 2 л m 1 = 6 г µ1 = 4,4·10-2 кг/моль m 2 = 5 г µ2 = 4,4·10-2 кг/моль t = 127 °С	СИ 2 м3 6∙10-3 кг   5∙10-3 кг   400 К
р см =?

Решение.

1. Согласно закону Дальтона давление смеси газов р _см в сосуде равно сумме парциальных давлений:

.            (1)

2. Из уравнения Менделеева–Клапейрона вычислим парциальные давления каждого газа:

,  ,                 (2)

 ,                         (3)

3. Подставим (2) и (3) в (1):

                              (4)

4. Подставим в (4) числовые значения:

Ответ: р _см = 415 кПа.

Задача 2.8. Кислород массой 320 г нагревают при постоянном давлении от 300 до 310 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: m= 320 г T 1 = 300 К T 2 = 310 К	СИ 0,32 кг
Q =? ΔU =? A =?

Решение.

1. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении, определим из первого начала термодинамики:

,                 (1)

где С_р – молярная изобарная теплоемкость, , где i = 5 для кислорода как двухатомного газа; m– молярная масса газа, m= 32 г/моль = .

2. Подставляя в (1) числовые значения, получим

.

3. Изменение внутренней энергии газа

.                                (2)

4. Подставляя числовые значения и учтя, что , получим

5. Работа расширения газа при изобарном процессе:

,                                           (3)

где .

6. Изменение объема газа при расширении можно найти из уравнения Менделеева–Клапейрона. Для двух состояний газа при изобарном процессе имеем:

                                         (4)

         .                                        (5)

7. Вычитая почленно (5) из (4), получим:

                            (6)

8. Подставляя (6) в (3), находим:

.                                 (7)

9. Подставим в (7) числовые значения:

А = .

Ответ: Q = 2908,5Дж, Δ U = 2080Дж, A = 830 Дж.

Задача 2.9. Молярная масса некоторого газа m= 0,03 г/моль, отношение удельных теплоемкостей с_р / с _V = 1,4. Найти удельные теплоемкости с_р и с_V.

Дано: m= 0,03 г/моль	СИ
ср =? сV =?

Решение.

1. Удельные теплоемкости с_р и с_V определяются по формулам:

,                       (1)

,                       (2)

где m– молярная масса газа; С_р , С_V – молярные теплоемкости.

2. Выразим из (1) и (2) молярные теплоемкости:

,                                              (3)

.                               (4)

3. Связь между молярными теплоемкостями (уравнение Майера)

,                                     (5)

где R – универсальная газовая постоянная.

4. Подставим (3), (4) в (5) и учтем, что  или :

,

,

,

,                              (6)

.               (7)

5. Подставим в (6) и (7) числовые значения:

Ответ: ,

Задача 2.10.   Объем V ₁= 7,5 л кислорода адиабатически сжимается до объема V ₂= 1 л. В конце сжатия устанавливается давление р ₂ = 1,6 МПа. Под каким давлением находился газ до сжатия?

Дано: V 1= 7,5 л V 2= 1 л р 2 = 1,6 МПа	СИ 7,5∙10-3 м3 1,0∙10-3 м3 1,6∙106 Па
р 1 =?

Решение.

1. Согласно уравнению Пуассона

.            (1)

гдеg – показатель адиабаты.

Поскольку кислород – двухатомный газ, то для кислородаg = 1, 4.

2. Выразим из (1) давление р ₁:

                                    (2)

3. Подставим в (2) числовые значения:

Ответ: р ₁ = 95,29 кПа.

Задача 2.11. Кислородмассой1 г нагревается от Т ₁ = 283 К до Т ₂ = 333 К различными способами: а) при р = const; б) при V = = const; в) при Δ Q = 0. Определить изменение внутренней энергии кислорода при его нагревании от Т ₁ до Т ₂. Газ считать идеальным. Проверить для указанных процессов теоретическое положение о том, что изменение внутренней энергии идеального газа не зависит от процесса перехода, а зависит только от начальной и конечной температуры.

Дано: Т 1 = 283 К Т 2 = 333 К а) р = const б) V = const в)Δ Q = 0	СИ
Δ U =?

Решение.

1. Пусть процесс перехода газа из состояния с температурой Т ₁ в состояние с температурой Т ₂ происходит изобарически (р = const).

2. Согласно первому началу термодинамики

.            (1)

3. Количество теплоты, необходимое для нагревания на Δ Т при р = const количества вещества , равно

                                (2)

4. Работа газа:         

.                             (3)

5. Используем уравнение Менделеева–Клапейрона для определения изменения объема и температуры:            

                (4)

6. Подставив (4) в (3), а (3) и (2) в (1), а также используя уравнение Майера, получим:

.                        (5)

7. Рассмотрим случай, когда нагревание газа ведется изохорически (V = const). В этом случае совершаемая газом работа ΔА = 0 и ΔU_V = ΔQ. Количество теплоты, необходимое для нагревания на ΔТ (при V = const) количества вещества n = т /m, равно .                                

Отсюда получим:            

.                          (6)

8. Рассмотрим случай, когда нагревание газа от Т ₁ до Т ₂ производится адиабатно. В этом случае Δ Q = 0 и Δ U _ад = – Δ А. В адиабатном процессе:

 .        (7)

9. Хотя в адиабатном процессе система тепловой энергии не получает, увеличение температуры газа происходит за счет его сжатия внешними силами. Выражения (5), (6) и (7) идентичны, что подтверждает, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от процесса перехода, что и требовалось доказать.

10. Подставим в (5) числовые значения

Ответ: Δ U = 32,5 Дж.

Задача 2.12. В четырехтактном двигателе дизеля засосанный атмосферный воздух в объеме 10 л подвергается двенадцатикратному сжатию. Начальное давление – атмосферное, начальная температура 10 °С. Процесс сжатия адиабатный, газ идеальный. Определить конечное давление, конечную температуру и работу сжатия.

Дано: V 1= 10 л V 1 /V 2 = 12 p 1 = 1 атм t 1 = 10 °С Q = 0 µ = 2, 9 · 10 - 2кг/моль	СИ 10 м3 м/с 105 Па 283 К
p 2=? T 2=? А =?

Решение.

1. Из уравнения адиабаты  определим конечное давление р ₂:

    (1)

2. Из уравнения адиабаты  определим Т ₂:

                      (2)

3. Допуская, что воздух состоит в основном из кислорода (О₂) и азота (N₂), можно считать его двухатомным газом с теплоемкостью С_V = (5/2) R.

4. Работа при адиабатическом процессе равна

.                                      (3)

5. Подставив (2) в (3), и определив массу воздуха в двигателе из уравнения Менделеева–Клапейрона, получим выражение для работы при адиабатном сжатии:

6. Подставим в (1)–(3) числовые значения и получим:

Ответ: р ₂ = 3,24·10⁶ Па;  Т ₂ = 765 К; .

Задача 2.13. Вычислите изменение энтропии одного моля идеального газа при расширении по политропе от объема V ₁ до объема V ₂. Рассмотрите процессы: а) изотермический; б) адиабатный; в) изобарный.

Дано: ν = 1 моль V 1, V 2 а) T = const б) Q = 0 в) p = const	СИ
Δ S =?

Решение.

1. Изменение энтропии 1 моля идеального газа при переходе из состояния 1 в состояние 2 можно вычислить по формуле:

.

2. Из уравнения политропического процесса рVⁿ = constможно записать: ,  поэтому

,

где .  

3. При изотермическом процессе n = 1, тогда С_р – пС _V = R и .

4. При адиабатном процессе n = γ: С_р – nC_V = 0, тогда (Δ S)_ад = 0.

5. При изобарном процессе n = 0: . 

Ответ: а) ; б) (Δ S)_ад = 0;  в) .

Задача 2.14. Как изменится энтропия (Δ S) 2 г водорода, занимающего объем 40 л при температуре 270 К, если давление увеличить вдвое при постоянной температуре, а затем повысить температуру до 320 К при постоянном объеме.

Дано: m = 2 г V = 40 л T 1 = 270 К p 2 = 2 p 1 T 2 = 320 К V = const	СИ 2∙10-3 кг 40 м3
Δ S =?

Решение.

1. Изменение энтропии определяется формулой

,

где dQ – количество теплоты, полученное в данном процессе.

2. Изменение энтропии согласно условию происходит за счет двух процессов: изотермического и изохорического. Тогда

 .                       (1)

3. Количество теплоты dQ ₁ и dQ ₂найдем из первого начала термодинамики для этих процессов:

.

4. Для изотермического процесса

.                                      (2)

5. Давление р найдем из уравнения Менделеева–Клапейрона , откуда    

.                                      (3)

6. Подставим (3) в (2) и получим

                                     (4)

(так как dT = 0 для T = const).

7. В результате изменение энтропии составит  

,

так как при T = const, р ₁ V ₁ = р ₂ V ₂.

8. Для изохорического процесса имеем:

, ,

так как dV = 0и dA = 0при V = const. Тогда

.                        (5)

9. Подставив (5) и (4) в (1), получим

=

Ответ: D S = – 2, 27 Дж/К.

Задача 2.15. Паровая машина мощностью N = 14,7 кВт потребляет за время t = 1 ч работы массу m = 8,1 кг угля с удельной теплотой сгорания q = 3,3·10⁷ Дж/кг. Температура котла Т ₁ = 200 °С, температура холодильника Т ₂= 58 °С. Найти фактический КПД машины и сравнить его с КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно между теми же температурами.

Дано: N = 14,7 кВт Т 1 = 200 °С t 2= 58 °С t = 1 ч m = 8,1 кг q = 3,3·107 Дж/кг	СИ 14,7·103 Вт 473 К 331 К 3600 с
η1 =? η2 =? (η2 – η1) =?

Решение.

1. При известной мощности N за 1 час машина совершит полезную работу:

,

 2. Полная работа эквивалентна количеству теплоты, потребленному от сгоревшего угля:

.

3. КПД реальной паровой машины вычислим по формуле  

.                              (1)

4. КПД идеальной паровой машины:

.                                 (2)

5. Подставим в (1) и (2) числовые значения:

,

.

6. Вычислим разницу между КПД реальной и идеальной тепловых машин

.

Ответ: , .

Задача 2.16. Найти критическое давление и критическую температуру неона. Поправки в уравнение Ван-дер-Ваальса для неона имеют значение: а = 0,0213 Н∙м⁴/моль², b = 16,97 см³/моль.

Дано: а = 0,0213 Н∙м4/моль2 b = 16,97 см3/моль	СИ   16,97∙10-6 м3/моль
T кр =? p кр =?

Решение. Коэффициенты a и b в уравнении состояния Ван-дер-Ваальса связаны с критическими параметрами газа соотношениями:

Па,

 К.

Ответ: p _кр(Ne) = 2,65 МПа,    T _кр(Ne) = 44 К.

Задача 2.17. В стеклянном капилляре вода поднимается на высоту h = 30 см. Определить диаметр капилляра. Смачивание считать полным. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен a = 73,6×10^-3 Н/м

Дано: r = 103 кг/м3 a = 73,6×10-3 Н/м h = 30 см	СИ     0,3 м
d =?

Решение.

1.Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

 ,

где J – краевой угол, R - радиус канала трубки, R = d/ 2;  r – плотность жидкости; a – коэффициент поверхностного натяжения жидкости; g – ускорение свободного падения, g = 9, 8м/с².

2. При полном смачивании стенок трубки жидкостью J = 0, соsJ = 1 и, следовательно,  откуда

3. Подставим числовые значения:

Ответ: d =100 мкм.

Задача 2.18. Определить, какую работу следует совершить, чтобы увеличить размер мыльного пузыря с d ₁ = 6 мм до d ₂ = 60 мм. Процесс считать изотермическим. Поверхностное натяжение мыльного раствора принять равным 40 мН/м.

Дано: d 1 = 6 мм d 2 = 60 мм a = 40×10-3 Н/м Т = сonst	СИ 6×10-3 м 60×10-3 м
A =?

Решение.

1. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости равен

где D E – изменение свободной поверхностной энергии пленки жидкости, связанное с изменением площади Δ S поверхности этой пленки. Откуда

D E = αD S.                                       (1)

2. Величина D E связана с работой по выдуванию мыльного пузыря соотношением

D E = А.                                                  (2)

3. Изменение площади Δ S поверхности пленки равно

Δ S = 2 S ₂ – 2 S ₁ = 2(S ₂ – S ₁),

где S ₂– площадь поверхности пузыря в конечном состоянии, S ₁– площадь поверхности пузыря в исходном состоянии. Множитель два учитывает, что у мыльного пузыря две поверхности – внутренняя и внешняя.

4. Поскольку мыльный пузырь имеет сферическую поверхность, то

.                                (3)

5. Подставим (3) и (2) в (1) и получим

                               (4)

6. Подставим в (4) числовые значения:

Ответ: А = 895,28 кДж.