Момент инерции. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия  вращения. Работа, совершаемая при вращении тела

 

Момент инерции материальной точки массой m равен  где r – расстояние точки от оси вращения.

Момент инерции твердого тела

где r_i – расстояние элемента массой D m_i от оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс момент инерции твердого тела определяется с помощью интегрирования:

.

 Если тело однородное, то есть его плотностьrодинакова по всему объему, то

,

где V – объем тела.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр тяжести:

а) однородного стержня длиной l перпендикулярно стержню

б) тонкого кольца, обруча или тонкостенного цилиндра радиусом R перпендикулярно плоскости основания: ;

в) однородного диска или сплошного цилиндра радиусом R перпендикулярно плоскости основания: ;

г) однородного шара радиусом R: .

Теорема Штейнера. Момент инерции тела массой m относительно произвольной оси равен

где J ₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; d – расстояние между осями вращения.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

где w – угловая скорость тела.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения

,

где υ_С – скорость центра масс тела; m – масса катящегося тела; J_C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w – угловая скорость тела.

Работа, совершаемая при вращении тела:

где J – момент инерции тела; w₁и w₂ – начальная и конечнаяугловые скорости тела.

Момент силы. Уравнение динамики вращательного

Движения. Момент импульса. Закон сохранения момента

Импульса

Момент силыF относительно неподвижной точки О:

,

где  – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы .

Модуль момента силы

где a – угол между векторами  и ; r sina = l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О).

Момент силыF относительно оси вращения:

М = F _^ l,

где F _^ – проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l – плечо силы.

  Момент импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О:

,

где  – импульс материальной точки;  – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А.

Основное уравнение динамики вращательного движения:

,

где  – результирующий момент внешних сил, действующих на тело;  – угловое ускорение; J – момент инерции тела.

Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z:

где w – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, имеет вид

J ₁w₁ = J ₂w_2,

где J ₁ и w₁ – момент инерции системы тел и угловая скорость вращения в начальный момент времени; J ₂и w₂ – момент инерции и угловая скорость в конечный момент времени.