Стандартная ошибка среднего значения измеряемой величины.

Чтобы судить о том, насколько точно проведенные измерения отражают состав генеральной совокупности, необходимо вычислить стандартную ошибку средней арифметической выборочной совокупности.

Стандартная ошибка средней арифметической характеризует степень отклонения выборочной средней арифметической от средней арифметической генеральной совокупности.

Стандартная ошибка средней арифметической вычисляется по формуле:

,

где s – стандартное отклонение результатов измерений, n – объем выборки.

Зачастую мы имеем дело с одной случайной выборкой и с одной полученной при ее обработке выборочной средней. Задача заключается в суждении о величине неизвестной генеральной средней по полученной неточной величине случайной выборочной средней.

Вычислим среднюю ошибку найденного выборочного среднего значения роста:

195 См; σ = 8,8 см; см.

2,8 см составляют не максимальную, а среднюю возможную ошибку среднего. Отдельные выборочные средние могут отклоняться от генеральной как больше, так и меньше, чем на 2,8 см.

 

48. Критерий Стьюдента: сущность, применение, расчет.

Критерий tСтьюдента направлен на оценку различий величин средних X и У двух выборок X и У, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

Критерий t-Стьюдента для одной выборки

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что среднее значение изучае­мого признака М_х отличается от некоторого известного значения А. Проверя­емая статистическая гипотеза: Н₀: М = А. При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза о том, что М_х меньше (больше) А.

Исходное предположение: распределение признака в выборке приблизитель­но соответствует нормальному виду.

Структура исходных данных: значения изучаемого признака определены для каждого члена выборки, которая репрезентативна изучаемой генеральной со­вокупности.

Альтернатива методу: нет.

Формула для эмпирического значения критерияt-Стьюдента (1):

ПРИМЕР РАСЧЕТА

Предположим, исследовалось влияние условий воспитания в детском доме на ин­теллектуальное развитие детей. При использовании стандартного теста интеллекта для случайной выборки воспитанников детдома, состоящей из 36 детей, были получены следующие результаты: М_х = 106; σ = 15; N = 36. Исследователя интересовало, превышает ли интел­лект воспитанников детдома нормативный показатель А = 100. Для принятия ста­тистического решения был определен уровень α = 0,05.

Ш aг 1. Вычисляем по формуле (1) эмпирическое значение критерия и число сте­пеней свободы:t_э= 2,4; df= 35.

Ш а г 2. Определяем по таблице критических значений критерия f-Стьюдента р -уровень значимости. Для df = 35 эмпирическое значение находится между критическими для р = 0,05 и р = 0,01. Следовательно, р< 0,05.

Ш а г 3. Принимаем статистическое решение и формулируем вывод. Статистичес­кая гипотеза о равенстве среднего значения заданной величине отклоняется. Ин­теллект воспитанников детдома (М= 106; σ = 15; N= 36) статистически достоверно превышает нормативный показатель интеллекта А = 100 (на уровне значимости р < 0,05).

T-критерий Стьюдента для независимых выборок

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух ге­неральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые независимые выборки, отличаются друг от друга. Допущение независимости предполагает, что представители двух выборокне составляют пары коррелирующих значений признака. Это предположение нарушилось бы, если, например, 1-я выборка состояла из мужей, а 2-я — из их жен, и два ряда значений измеренного при­знака могли бы коррелировать.

Проверяемая статистическая гипотеза Н0:М1 = М2 (средние значения в выборках 1 и 2 равны). При ее отклонении при­нимается альтернативная гипотеза о том, чтоМ1 больше (меньше)М2.

Исходные предположения для статистической проверки:

□ одна выборка извлекается из одной генеральной совокупности, а другая выборка, независимая от первой, извлекается из другой генеральной со­вокупности;

□ распределение изучаемого признака и в той, и в другой выборке при­близительно соответствует нормальному;

□ дисперсии признака в двух выборках примерно одинаковы (гомогенны).

Структура исходных данных: изучаемый признак измерен у объектов (ис­пытуемых), каждый из которых принадлежит к одной из двух сравниваемых независимых выборок.

Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке должно суще­ственно не отличаться от нормального;в случае разной численности сравнива­емых выборок их дисперсии статистически достоверно не различаются (про­веряется по критериюF-Фишера — при вычислениях «вручную», по критерию Ливена — при вычислениях на компьютере).

 

49. Критерий x-квадрат: сущность, применение.

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением F*_п(x), которая приближенно подчиняется закону распределения χ ². Гипотеза Н₀ (нулевая гипотеза) о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Итак, пусть выборка представлена статистическим рядом с количеством разрядов M. Наблюдаемая частота попаданий в i- й разряд n_i. В соответствии с теоретическим законом распределения ожидаемая частота попаданий в i -й разряд составляет F_i. Разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой составит величину (n_i – F_i). Для нахождения общей степени расхождения между F(x) и F*_п(x) необходимо подсчитать взвешенную сумму квадратов разностей по всем разрядам статистического ряда

(3.7)

Величина χ ² при неограниченном увеличении n имеет χ²-распределение (асимптотически распределена как χ²). Это распределение зависит от числа степеней свободы k, т.е. количества независимых значений слагаемых в выражении (3.7). Число степеней свободы равно числу y минус число линейных связей, наложенных на выборку. Одна связь существует в силу того, что любая частота может быть вычислена по совокупности частот в оставшихся M –1 разрядах. Кроме того, если параметры распределения неизвестны заранее, то имеется еще одно ограничение, обусловленное подгонкой распределения к выборке. Если по выборке определяются S параметров распределения, то число степеней свободы составит k=M –S–1.

Область принятия гипотезы Н₀ определяется условием χ ² < χ ²(k;a), где χ ²(k;a) – критическая точка χ2-распределения с уровнем значимости a. Вероятность ошибки первого рода равна a, вероятность ошибки второго рода четко определить нельзя, потому что существует бесконечно большое множество различных способов несовпадения распределений. Мощность критерия зависит от количества разрядов и объема выборки. Критерий рекомендуется применять при n >200, допускается применение при n >40, именно при таких условиях критерий состоятелен (как правило, отвергает неверную нулевую гипотезу).

 

Критерий Фишера.

F - критерий Фишера является параметрическим критерием и используется для сравнения дисперсий двух вариационных рядов. Эмпирическое значение критерия вычисляется по формуле:

где - большая дисперсия, - меньшая дисперсия рассматриваемых вариационных рядов.

Если вычисленное значение критерия F_эмп больше критического для определенного уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы для числителя и знаменателя, то дисперсии считаются различными. Иными словами, проверяется гипотеза, состоящая в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: H₀={D_x=D_y}.

Критическое значение критерия Фишера следует определять по специальной таблице, исходя из уровня значимости α и степеней свободы числителя (n₁-1) и знаменателя (n₂-1).

Проиллюстрируем применение критерия Фишера на следующем примере. Дисперсия такого показателя, как стрессоустойчивость для учителей составила 6,17 (n₁=32), а для менеджеров 4,41 (n₂=33). Определим, можно ли считать уровень дисперсий примерно одинаковым для данных выборок на уровне значимости 0,05.

Для ответа на поставленный вопрос определим эмпирическое значение критерия: При этом критическое значение критерия F_кр(0,05;31;32)=2.

Таким образом, F_эмп=1,4<2=F_кр, поэтому нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий на уровне значимости 0,05 принимается.