Ряды с положительными членами

1. Теорема  (Необходимый признак сходимости)

Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при , т.е.:

                           .                                                   

 

Таким образом,

 если , то ряд расходится;

 если же , то ряд может быть как сходящимся,

           так и расходящимся.

2. Теорема   (Первый признак сравнения)

Пусть и — ряды с положительными членами,

причем    

                  для всех номеров , начиная с некоторого

                                        номера .

Тогда:

1)  если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) если ряд расходится, то расходится и ряд .

Иначе говоря,

     из сходимости ряда с бóльшими членами следует сходимость ряда с мéньшими членами;

     из расходимости ряда с мéньшими членами следует расходимость ряда с бóльшими членами.

3. Теорема (Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме))

Пусть и — ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел 

                               .                                                    

Тогда оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся (другими словами, имеют одинаковый характер сходимости).

4. Теорема (Признак Даламбера)

Пусть — ряд с положительными членами, и существует конечный предел 

                         .                                                    

Тогда:

1) если , то данный ряд сходится;

 

2) если , то данный ряд расходится;

 

3) если , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется дополнительное исследование ряда с помощью других методов.

 

Ä Замечание 1

Если , но, начиная с некоторого номера , имеет место неравенство , то ряд расходится.

Ä Замечание 2

Ряд будет расходящимся и в том случае, если .

5. Теорема   (Радикальный признак Коши)

 

Пусть — ряд с положительными членами, и существует конечный предел 

                       .                                                    

Тогда:

1) если , то данный ряд сходится;

 

2) если , то данный ряд расходится;

 

3) если , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется дополнительное исследование ряда с помощью других методов.

Ä Замечание

Ряд будет расходящимся и  в том случае, если .

Ä

6. Теорема 1.9 (Интегральный признак сходимости)

 

Пусть — ряд с положительными членами, и .

Тогда,

      если соответствующая функция  — положительная,

      непрерывная и монотонно убывающая на промежутке

      , то:

       ряд и несобственный интеграл сходятся или

       расходятся одновременно.

Знакопеременные  ряды

7. Определения

1) Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних  члена имеют разные знаки, т.е. ряд вида

          или , где .

2) Знакопеременным называется ряд, содержащий и положительные, иотрицательные члены (расположенные в произвольном порядке).

 

 

8. Теорема (Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда)

 

Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются два условия:

 

1)  абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, т.е.

                                     ;

2) общий член ряда стремится к нулю при , т.е.

             .                                              

9. Теорема (Сходимость знакопеременного ряда)

Пусть дан знакопеременный  ряд , где произвольные числа (действительные или комплексные).

Если сходится ряд (составленный из абсолютных величин исходного ряда), то исходный ряд также сходится. В этом случае ряд называется абсолютно сходящимся.

 Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Ä Замечание 1

Для исследования абсолютной сходимости ряда к ряду можно применять все признаки, используемые при исследовании рядов с положительными членами.

Ä Замечание 2