Для определения количества членов ряда, которое нужно взять, чтобы выполнялась заданная точность, использовать условие

Задача 12. Найти область сходимости ряда.

(См.:

§ п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак

Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов)

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

12.10

12.11

12.12

8.13

12.14

12.15

12.16

12.17

12.18

12.19

12.20

12.21

12.22

12.23

12.24

12.25

12.26

12.27

12.28

12.29

12.30

12.31

Указание к выполнению

Использовать алгоритм нахождения области сходимости функционального ряда на стр. 62.

Пример выполнения задания.

См. пример I.1. - 8 (Определение области сходимости функционального ряда) на стр. 63.

Задача 13. Найти область сходимости ряда.

(См.:

§ п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак

Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов).

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

13.10

13.11

13.12

13.13

13.14

13.15

13.16

13.17

13.18

13.19

13.20

13.21

13.22

13.23

13.24

13.25

13.26

13.27

13.28

13.29

13.30

13.31

Указание к выполнению

Использовать алгоритм нахождения области сходимости функционального ряда на стр. 62.

Пример выполнения задания.

См. пример I.1. - 8 (Определение области сходимости функционального ряда) на стр. 63.

Задача 14. Найти сумму ряда.

(См.:

§ п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

14.10

14.11

14.12

14.13

14.14

14.15

14.16

14.17

14.18

14.19

14.20

14.21

14.22

14.23

14.24

14.25

14.26

14.27

14.28

14.29

14.30

14.31

Указание к выполнению

Использовать почленное интегрирование функционального ряда ( теорема 1.13 (Интегрирование функциональных рядов) на стр. 77).

Пример выполнения задания.

См. пример I.1. - 9 (Вычисление суммы ряда почленным интегрированием) на стр. 78.

Задача 15. Найти сумму ряда.

(См.:

§ п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак

15.1

15.2

15.3

15.4

15.5

15.6

15.7

15.8

15.9

15.10

15.11

15.12

15.13

15.14

15.15

15.16

15.17

15.18

15.19

15.20

15.21

15.22

15.23

15.24

15.25

15.26

15.27

15.28

15.29

15.30

15.31

Указание к выполнению

Использовать почленное дифференцирование функционального ряда ( теорема 1.14 (Дифференцирование функциональных рядов) на стр. 87).

Пример выполнения задания.

См. пример I.1. - 10 (Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием) на стр. 88.

Задача 16.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом ;

при этом,

если функция задана на полупериоде (т.е. на промежутке, длина которого равна половине периода ), то разложить в ряд Фурье по синусам или по косинусам.

(См.:

§ п. I.1.8. Тригонометрические ряды. Ряд Фурье, сходимость рядов Фурье, коэффициенты Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций;

§ п. I.1.9. Ряд Фурье для функций с «двойной симметрией»;

§ п. I.1.10. Ряд Фурье для функций, заданных на полупериоде. Разложение в ряд Фурье непериодических функций).

16.1

16.2

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7

16.8

16.9	16.10
16.11	16.12

16.13

16.14

16.15

16.16

16.17

16.18

16.19

16.20

16.21

16.22

16.23

16.24

16.25

16.26

16.27

16.28

16.29

16.30

16.31

Указание к выполнению

Использовать формулы разложений в ряд Фурье:

§ периодических функций с произвольным периодом ;

§ с периодом ;

§ четных и нечетных функций;

§ функций, заданных на полупериоде,

из п. I.1.8. – I.1.10 ( или из приложения 3, стр. 306 – 312).

Пример выполнения задания.

См.:

§ пример I.1. – 18 (Разложение функций с периодом в ряд Фурье) на стр. 155;

§ пример I.1. – 19 (Разложение функций с произвольным периодом в ряд Фурье) на стр. 174;

§ пример I.1. – 21 (Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде) на стр. 196.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Некоторые замечательные ряды ¨ Ряд

, составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем

и первым членом

, называется геометрическим рядом. Если , то геометрический ряд (1) расходится; если

, то ряд (1) сходится, и его сумма

определяется формулой

. Замечание 1. Вычислить сумму ряда (1), начиная с

слагаемого

, можно по формуле

. 2. Сумму

первых слагаемых ряда (1) можно вычислить по формуле

. ¨ Ряд

называется гармоническим. Гармонический ряд расходится. ¨ Ряд

называется рядом Дирихле (обобщенным гармоническим рядом). Ряд Дирихле сходится при и расходится при . Гармонический ряд является частным случаем ряда Дирихле при .