Задача 12. Найти область сходимости ряда.
(См.:
§ п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов)
12.1  .
| 12.2  .
|
12.3  .
| 12.4  .
|
12.5  .
| 12.6  .
|
12.7  .
| 12.8  .
|
12.9  .
| 12.10  .
|
12.11  .
| 12.12  .
|
8.13  .
| 12.14  .
|
12.15  .
| 12.16  .
|
12.17  .
| 12.18  .
|
12.19  .
| 12.20  .
|
12.21  .
| 12.22  .
|
12.23  .
| 12.24  .
|
12.25  .
| 12.26  .
|
12.27  .
| 12.28  .
|
12.29  .
| 12.30  .
|
12.31  .
|
Указание к выполнению
Использовать алгоритм нахождения области сходимости функционального ряда на стр. 62.
Пример выполнения задания.
См. пример I.1. - 8 (Определение области сходимости функционального ряда) на стр. 63.
Задача 13. Найти область сходимости ряда.
(См.:
§ п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов).
13.1  .
| 13.2  .
|
13.3  .
| 13.4  .
|
13.5  .
| 13.6  .
|
13.7  .
| 13.8  .
|
13.9  .
| 13.10  .
|
13.11  .
| 13.12  .
|
13.13  .
| 13.14  .
|
13.15  .
| 13.16  .
|
13.17  .
| 13.18  .
|
13.19  .
| 13.20  .
|
13.21  .
| 13.22  .
|
13.23  .
| 13.24  .
|
13.25  .
| 13.26  .
|
13.27  .
| 13.28  .
|
13.29  .
| 13.30  .
|
13.31  .
|
Указание к выполнению
Использовать алгоритм нахождения области сходимости функционального ряда на стр. 62.
Пример выполнения задания.
См. пример I.1. - 8 (Определение области сходимости функционального ряда) на стр. 63.
Задача 14. Найти сумму ряда.
(См.:
§ п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов).
14.1  .
| 14.2  .
|
14.3  .
| 14.4  .
|
14.5  .
| 14.6  .
|
14.7  .
| 14.8  .
|
14.9  .
| 14.10  .
|
14.11  .
| 14.12  .
|
14.13  .
| 14.14  .
|
14.15  .
| 14.16  .
|
14.17  .
| 14.18  .
|
14.19  .
| 14.20  .
|
14.21  .
| 14.22  .
|
14.23  .
| 14.24  .
|
14.25  .
| 14.26  .
|
14.27  .
| 14.28  .
|
14.29  .
| 14.30  .
|
14.31  .
|
Указание к выполнению
Использовать почленное интегрирование функционального ряда ( теорема 1.13 (Интегрирование функциональных рядов) на стр. 77).
Пример выполнения задания.
См. пример I.1. - 9 (Вычисление суммы ряда почленным интегрированием) на стр. 78.
Задача 15. Найти сумму ряда.
(См.:
§ п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов).
15.1  .
| 15.2  .
|
15.3  .
| 15.4  .
|
15.5  .
| 15.6  .
|
15.7  .
| 15.8  .
|
15.9  .
| 15.10  .
|
15.11  .
| 15.12  .
|
15.13  .
| 15.14  .
|
15.15  .
| 15.16  .
|
15.17  .
| 15.18  .
|
15.19  .
| 15.20  .
|
15.21  .
| 15.22  .
|
15.23  .
| 15.24  .
|
| 15.25 .
| 15.26  .
|
15.27  .
| 15.28  .
|
15.29  .
| 15.30  .
|
15.31  .
|
Указание к выполнению
Использовать почленное дифференцирование функционального ряда ( теорема 1.14 (Дифференцирование функциональных рядов) на стр. 87).
Пример выполнения задания.
См. пример I.1. - 10 (Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием) на стр. 88.
Задача 16.
Разложить в ряд Фурье функцию 
с периодом 
;
при этом,
если функция задана на полупериоде (т.е. на промежутке, длина которого равна половине периода 
), то разложить в ряд Фурье по синусам или по косинусам.
(См.:
§ п. I.1.8. Тригонометрические ряды. Ряд Фурье, сходимость рядов Фурье, коэффициенты Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций;
§ п. I.1.9. Ряд Фурье для функций с «двойной симметрией»;
§ п. I.1.10. Ряд Фурье для функций, заданных на полупериоде. Разложение в ряд Фурье непериодических функций).
16.1
| 16.2
|
16.3
| 16.4
|
16.5
| 16.6
|
16.7
| 16.8
|
16.9
| 16.10
|
16.11
| 16.12
|
16.13
| 16.14
|
16.15
| 16.16
|
16.17
| 16.18
|
16.19
| 16.20
|
16.21
| 16.22
|
16.23
| 16.24
|
16.25
| 16.26
|
16.27
| 16.28
|
16.29
| 16.30
|
16.31
|
Указание к выполнению
Использовать формулы разложений в ряд Фурье:
§ периодических функций с произвольным периодом 
;
§ с периодом 
;
§ четных и нечетных функций;
§ функций, заданных на полупериоде,
из п. I.1.8. – I.1.10 ( или из приложения 3, стр. 306 – 312).
Пример выполнения задания.
См.:
§ пример I.1. – 18 (Разложение функций с периодом в ряд Фурье) на стр. 155;
§ пример I.1. – 19 (Разложение функций с произвольным периодом в ряд Фурье) на стр. 174;
§ пример I.1. – 21 (Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде) на стр. 196.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
|
, 
составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем 
и первым членом 
, называется
геометрическим рядом.
Если 
, то геометрический ряд (1) расходится;
если 
, то ряд (1) сходится, и его сумма 
определяется формулой 
.
Замечание
1. Вычислить сумму ряда (1), начиная с 
слагаемого
, можно по формуле 
.
2. Сумму 
первых слагаемых ряда (1) можно вычислить
по формуле 
.
¨ Ряд
называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.
¨ Ряд
называется рядом Дирихле (обобщенным гармоническим рядом).
Ряд Дирихле сходится при 
и расходится при 
.
Гармонический ряд является частным случаем ряда Дирихле при 
.
Приложение 2
|
некоторых элементарных функций
1. 
2. 
3. 
4. 
;
5. 
;
Разложения (1) – (5) справедливы для всех 
.
6. 
;
7. 
;
8. 
Приложение 3
Основные теоремы и формулы теории рядов
