Интервал сходимости ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда в граничных точках интервала сходимости.

§ При :

Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда: (в нашем случае ).

Таким образом,

при степенной ряд расходится.

§ При :

Ряд расходится.

Таким образом,

при степенной ряд расходится.

3. Объединяя результаты п. 1 и 2 решения, окончательно получаем:

степенной ряд сходится при .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

(См.:

§ п. I.1.6. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций).

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

9.10

9.11

9.12

9.13

9.14

9.15

9.16

9.17

9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23 .	9.24 .
9.25 .	9.26 .

9.27

9.28

9.29

9.30

9.31

Указание к выполнению

1. Преобразовать функцию к виду, допускающему использование табличных разложений функций .

(См. табл. 2 на стр. 122 или приложение 2).

2. Найти разложение функции в ряд Тейлора, используя:

§ табличные разложения;

§ сложение (вычитание) рядов;

§ умножение ряда на число.

(См. также на стр. 123 – 124 приемы, применяемые при разложении в степенные ряды).

3. Определить область сходимости полученного рядак функции .

Ñ Пример выполнения задания.

(См. также:

§ пример I.1. - 13 (Разложение функций в степенные ряды) на стр. 124) )

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

Решение

1. Преобразуем функцию к виду, допускающему использование табличного разложения

Имеем:

Таким образом, получили:

2. Теперь разложим в ряд Тейлора по степеням каждую из полученных функций: и .

Имеем:

§ разложениефункции является табличным разложением (1) с областью сходимости (2):

§ получим разложение функции по степеням :

или

3. Подставляя полученные разложения (2) и (4) в равенство (3), получаем искомое разложение функции :

или

— искомое разложение.

Область сходимости ряда (6): .

Итак, получили:

Разложение функции в ряд Тейлора

По степеням имеет вид

Задача 10. Вычислить интеграл с точностью до .

(См.:

§ п. I.1.7. Приложения степенных рядов: вычисление значений функций с помощью рядов; вычисление определенных интегралов с помощью рядов; вычисление пределов с помощью рядов).

10.1