Полуэмпирические методы расчета, основанные на уравнениях для рейнольдсовых напряжений

Определение математических ожиданий газодинамических параметров, а в ряде случаев и моментов более высокого порядка, в турбулентных течениях, в том числе и в турбулентных струях, с помощью уравнений Рейнольдса и замыкающих условий разной степени сложности сформировалось в теории турбулентных течений в самостоятельное направление. Появилось множество полуэмпирических теорий турбулентности, существо которых состоит в замыкании уравнений Рейнольдса с помощью дополнительных соотношений.

Рассмотрим некоторые из них для несжимаемой жидкости.

Итак, уравнения неразрывности и движения для осредненных параметров (см. формулы (2.6.6) – (2.6.9)) могут быть формально записаны в том же виде, что и для ламинарного движения, но будут содержать симметричный тензор добавочных турбулентных напряжений .

Первую попытку замкнуть систему уравнений движения, связав тензор  с параметрами осредненного движения, сделал Буссинеск в 1877 г. еще до появления работы Рейнольдса. Согласно гипотезе Буссинеска, между тензором турбулентных напряжений и тензором осредненных скоростей деформации существует связь, аналогичная линейной связи между тензором вязких напряжений и тензором скоростей деформации ламинарного течения:

.             (3.2.1)

В отличие от ламинарного течения, коэффициент турбулентной вязкости  не является постоянной величиной, а определяется начальными и граничными условиями, характером движения и в общем случае представляет собой скалярную функцию координат пространства.

При развитом турбулентном течении, в достаточном удалении от стенок, напряжения молекулярной вязкости пренебрежимо малы по сравнению с турбулентными. Это позволяет опустить в (2.6.6) член . В результате получим уравнения Буссинеска:

, (3.2.2)

,     (3.2.3)

.                      (3.2.4)

Однако формула (3.2.3), написанная по аналогии с ламинарным течением несжимаемой жидкости, не вполне корректна. Это связано с тем, что, в отличие от ламинарного течения, сумма нормальных компонентов турбулентных сил трения не равна нулю:

.       (3.2.5)

Так как кинетическая энергия турбулентности в единице массы равна:

,    (3.2.6)

то

.                           (3.2.7)

Для устранения указанной некорректности А.Н. Колмогоров в 1942 г. предложил новый вариант гипотезы о связи между тензором турбулентных сил трения и тензором скоростей деформации осредненного поля:

,  (3.2.8)

где        

Система уравнений (3.2.2), (3.2.8), (3.2.4) требует для своего замыкания дополнительных зависимостей, определяющих коэффициент турбулентной вязкости  и кинетическую энергию турбулентности . Наибольшей популярностью пользуется
модель, в которой замыкание достигается введением дифференциальных уравнений типа уравнений переноса для  и  ( –  модель).

Модели типа –  обладают высокой универсальностью, позволяя находить математические ожидания газодинамических параметров не только в турбулентных струях, но и в сложных пространственных течениях с большими градиентами давления. Однако эта универсальность достигается введением дополнительного набора опытных констант, зачастую меняющихся в зависимости от характера течения, и требует значительных затрат времени на проведение расчетов без увеличения точности получаемых результатов. Поэтому применение указанной модели для расчета турбулентных струй нецелесообразно.

Уравнения пограничного слоя.  В 1904 г. Прандтль упростил уравнения Навье – Стокса применительно к задачам о течении в пограничном слое. Существо этих упрощений сводится к выделению узких зон, называемых пограничными слоями, в которых продольные градиенты газодинамических величин пренебрежимо малы по сравнению с поперечными.

Запишем, например, уравнения Буссинеска – Колмогорова для стационарной плоскопараллельной турбулентной струи несжимаемой жидкости или газа с учетом приближений пограничного слоя:

,   (3.2.9)

,                       (3.2.10)

,            (3.2.11)

,          (3.2.12)

где  – продольная координата, отсчитываемая от среза сопла по оси струи или параллельно ей;  – поперечная координата.

К настоящему времени известно много теорий струйной или так называемой свободной турбулентности, основанных на замыкании системы уравнений пограничного слоя. Остановимся на трех: старой теории Прандтля, теории Тейлора и новой теории Прандтля, как получивших наибольшее признание и широко используемых. Для удобства и наглядности суть рассматриваемых теорий поясним на примере простейшего типа струйного тече-ния – течения в стационарной плоскопараллельной изобарической струе несжимаемой жидкости.

Старая теория свободной турбулентности Прандтля. Займемся анализом формулы (3.2.12) для турбулентного трения. Введем среднеквадратические значения пульсаций скорости в продольном и поперечном направлениях:

,    .   (3.2.13)

Корреляционная функция  может быть представлена в нормированном виде:

,                 (3.2.14)

где  – коэффициент корреляции, который по определению меняется в пределах . Прандтль предложил считать коэффициент корреляции  равным . Знак «минус» соответствует положительному градиенту продольной скорости , а «плюс» – отрицательному . Поясним это предположение. Пусть . Тогда жидкие частицы, перемещаясь в положительном направлении оси , , вызывают отрицательные пульсации продольной составляющей скорости  и, наоборот, если , то . Такое же рассуждение для  приводит к одинаковым знакам при  и .

В свою очередь величина  предполагается пропорциональной модулю градиента осредненной продольной скорости в поперечном направлении:

.                    (3.2.15)

Названный Прандтлем "путь смешения"  в рассматриваемой модели линейно зависит от продольной координаты:

,                            (3.2.16)

где  – единственная эмпирическая постоянная теории свободной турбулентности Прандтля.

Подставляя (3.2.16), (3.2.15), (3.2.14) в (3.2.12) и предполагая равенство , получим следующую известную формулу турбулентного трения Прандтля:

.          (3.2.17)

Здесь знак «плюс» берется при . Формулу (3.2.17) можно записать в ином виде:

.         (3.2.18)

Используя выражение для турбулентного трения (3.2.18) и подставляя его в (3.2.9) при , получим замкнутую систему двух уравнений, описывающую поле скоростей в плоской струе несжимаемой жидкости:

(3.2.19)

Толмин применил старую теорию свободной турбулентности Прандтля к решению трех задач о распространении свободных затопленных струй несжимаемой жидкости: о пограничном слое беспредельной плоской струи; о плоской струе, вытекающей из очень узкого отверстия; об осесимметричной струе, вытекающей из очень узкого отверстия. Во всех случаях Толмину удалось подбором одной опытной константы  добиться хорошего согласия экспериментальных и теоретических результатов.

Теория Прандтля может быть обобщена на решение тепловой и диффузионных задач.

Для отыскания закона распределения температур в плоской струе воспользуемся уравнением энергии (2.4.12) с учетом следующих допущений (помимо тех, которые уже приняты: , , движение установившееся, струя плоская):

· скорости малы, что позволяет пренебречь кинетической энергией в выражении для полного теплосодержания:

;               (3.2.20)

· массовые силы пренебрежимо малы: ;

· молекулярной теплопроводностью и переходом работы вязких сил в тепло пренебрегаем вследствие их малости по сравнению с турбулентным переносом тепла;

· объемное выделение тепла равно нулю: .

Выполнив операцию осреднения газодинамических параметров и их комбинаций, получим уравнение энергии для плоского пограничного слоя в виде

, (3.2.21)

где турбулентный тепловой поток в поперечном направлении равен:

.         (3.2.22)

Здесь  – коэффициент турбулентной теплопроводности.

Применим подход Прандтля при подборе замыкающего соотношения для корреляционной функции . Запишем ее в виде

,                (3.2.23)

где знак «минус» соответствует положительному поперечному градиенту температуры ;  – среднеквадратическое значение пульсации температуры.

Полагая, что

,               (3.2.24)

,               (3.2.25)

получим выражение для корреляционной функции :

.   (3.2.26)

Подставляя (3.2.22) и (3.2.26) в (3.2.21) и учитывая уравнение неразрывности (3.2.11), приходим к уравнению энергии для плоской изобарической турбулентной струи:

 (3.2.27)

В формулу (3.2.27) приходятся вводить уже две опытные константы:  и , так как, по экспериментальным данным, тепловой турбулентный слой толще динамического. Соответственно турбулентное число Прандтля , определяемое как отношение:

,                   (3.2.28)

меньше единицы (опытное значение ).

Применив аналогичные рассуждения к уравнению диффузии пассивной примеси (2.5.10), получим уравнение диффузии для плоской турбулентной струи:

      (3.2.29)

где  – массовая концентрация пассивной примеси.

Сопоставление полученных из опыта профилей нормированных избыточных температур  и массовой концентрации пассивной примеси  показало их идентичность, что позволяет считать 

,                           (3.2.30)

,                  (3.2.31)

где  – температура на срезе сопла,  – температура окружающей среды.

Таким образом, решение динамической, тепловой и диффузионных задач в рамках старой теории турбулентности Прандтля требует введения двух опытных констант:  и .

Теория свободной турбулентности Тейлора. Физическая модель турбулентности Тейлора исходит из предположения, что турбулентное трение вызывается переносом вихрей, а не количества движения, как в старой теории свободной турбулентности Прандтля. В результате Тейлор получил уравнения движения, энергии и диффузии эквивалентные соответствующим уравнениям старой теории Прандтля при условии . Турбулентное число Прандтля в теории Тейлора равно , что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Тем самым Тейлор построил замкнутую систему уравнений для определения осредненных газодинамических параметров в струе несжимаемой жидкости, используя лишь одну опытную константу .

Новая теория свободной турбулентности Прандтля. Новая теория турбулентности Прандтля (1942), базируется на допущении о постоянстве коэффициента турбулентной вязкости  по сечению струи:

,       (3.2.32)

где  – ширина зоны смешения, определяемая по эмпирическим формулам,  – опытная константа.

Уравнение (3.2.32) с точки зрения точности описания течения в турбулентных струях не имеет преимуществ перед соотношением для коэффициента турбулентной вязкости:

,                  (3.2.33)

используемого в старой теории турбулентности Прандтля, но не приводит к противоречащему действительности требованию обращения  в нуль в точках слоя смешения, где .