Разложение в степенные ряды основных элементарных

функций

Частный случай ряда Тейлора при х ₀ =0

н азываемся рядом Маклорена для функции f (x).

Найдем разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

Пример 23

Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение.

Для решения задачи будем использовать алгоритм, сформулированный выше. Так как требуется разложить функцию в ряд Маклорена, следовательно, будем искать разложение в окрестности точки х ₀ = 0.

Найдем значение функции в точке х ₀ =0, производные функции до п -го порядка и их значения при х ₀ = 0:

Запишемформально ряд Маклорена по формуле

получим

Заметим, что получили рад по нечетным степеням, так как коэффициенты при четных степенях (когда п - четное число) равны нулю.

Найдем область сходимости полученного ряда, для этого составим ряд из абсолютных величин членов ряда:

и применим к нему признак Д'Аламбера.

Так как величина предела не зависит от х и меньше единицы при любом х, то ряд сходится при всех значения, значит, область сходимости ряда х Î(–¥,+¥).

Проверим выполнение достаточных условий. Очевидно, что

для п = 0,1,2,... и для любых х,

значит, функция разлагается в свой ряд Маклорена на всей числовой оси, т.е.

при х Î(–¥,+¥).

В рассмотренном примере для определения коэффициентов разложения функции в степенной ряд в окрестности точки х ₀=0 мы последовательно дифференцировали функцию до тех пор, пока не смогли вывести формулу для п -ой производной, и находили значения производных в данной точке. Затем выясняли, для каких х выполняются достаточные условия разложимости функции в ряд. Часто эти шаги приводят к громоздким вычислениям. Эти трудности иногда можно обойти, используя утверждение о том, что полученное любым способом разложение функции в степенной ряд будет её разложением в ряд Тейлора. Поэтому, чтобы получить разложение функции в степенной ряд, можно использовать уже известные разложения элементарных функций ряд Маклорена, применяя к ним правила сложения, умножения рядов и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.

Например, разложение функции f (x)= cos x можно получить, продифференцировав почленно разложение в ряд Маклорена функции f (x) = sin x.

при х Î(–¥,+¥).

Аналогично, используя алгоритм разложения и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов, можно получить разложения в ряд Маклорена следующих элементарных функций:

при х Î(–¥,+¥);

е сли т≥.0, или т £ -1, то область сходимости х Î (- 1;1),

е сли –1< т<0, то область сходимости х Î (- 1;1].

Такое разложение называется биномиальным рядом. В частности, полагая в последнем разложении т = –1, получим

, х Î (-1;1).

Заменяя в этом разложении х на выражение (– х), получим

, при х Î (–1;1).

Используя теорему об интегрировании степенных рядов и применяя её к разложению в ряд Маклорена функции , получим

при х Î (–1;1].

Заменяя в разложении функции переменную х на выражение и интегрирую, получим

, при х Î [–1;1].

Используя биномиальный ряд– разложение в ряд Маклорена функции , полагая , заменяя х на выражение и интегрируя, получим

, при х Î (–1;1).

Пример 24.

Используя известные разложения, разложитьв ряд Мэклорена функцию .

Решение

Необходимо найти разложение функции в ряд Маклорена, т.е. в степенной ряд по степеням х. Будем использовать разложение

при t Î (–1;1].

Полагая t = x ², получим

Это разложение справедливо, когда , откуда , тогда область сходимости .

Таким образом,

Умножая обе части равенства на х, получим

при х Î [–1;1].

Пример 25

Используя известные разложения, разложись функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х ₀ =1.

Решение.

Необходимо получить разложение функции в ряд Тейлора в окрестноститочки х ₀ = 1, т.е. по степеням (х –1).

Будем использовать разложение

, при t Î (-1;1).

Для того, чтобы получить разложение данной функции по степеням (х –1)введем новую переменную t = x –1, тогда х = t + 1.Преобразуем данную функцию к новой переменной, полагая х = t + 1:

Полагая в известном разложении вместо t выражение и умножая на число , получим

при Î (-1;1).

Полагая в полученном разложении t = x –1,возвратимся к исходной переменной х и получим разложение данной функции в степенной ряд по степеням (х -1):