Лекции.Орг


Поиск:




Разложение в степенные ряды основных элементарных




   функций

Частный случай ряда Тейлора при х 0 =0

н азываемся рядом Маклорена для функции f (x).

Найдем разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

Пример 23

Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение.

Для решения задачи будем использовать алгоритм, сформулированный выше. Так как требуется разложить функцию в ряд Маклорена, следовательно, будем искать разложение в окрестности точки х 0 = 0.

Найдем значение функции в точке х 0 =0, производные функции до п -го порядка и их значения при х 0 = 0:

Запишемформально ряд Маклорена по формуле

,

получим

.

Заметим, что получили рад по нечетным степеням, так как коэффициенты при четных степенях (когда п - четное число) равны нулю.

Найдем область сходимости полученного ряда, для этого составим ряд из абсолютных величин членов ряда:

и применим к нему признак Д'Аламбера.

Так как величина предела не зависит от х и меньше единицы при любом х, то ряд сходится при всех значения, значит, область сходимости ряда х Î(–¥,+¥).

Проверим выполнение достаточных условий. Очевидно, что

 для п = 0,1,2,... и для любых х,

значит, функция разлагается в свой ряд Маклорена на всей числовой оси, т.е.

 

при х Î(–¥,+¥).

В рассмотренном примере для определения коэффициентов разложения функции в степенной ряд в окрестности точки х 0=0 мы последовательно дифференцировали функцию до тех пор, пока не смогли вывести формулу для п -ой производной,  и находили значения производных в данной точке. Затем выясняли, для каких х выполняются достаточные условия разложимости функции в ряд. Часто эти шаги приводят к громоздким вычислениям. Эти трудности иногда можно обойти, используя утверждение о том, что полученное любым способом разложение функции в степенной ряд будет её разложением в ряд Тейлора. Поэтому, чтобы получить разложение функции в степенной ряд, можно использовать уже известные разложения элементарных функций ряд Маклорена, применяя к ним правила сложения, умножения рядов и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.

Например, разложение функции f (x)= cos x можно получить, продифференцировав почленно разложение в ряд Маклорена функции f (x) = sin x.

,

 при х Î(–¥,+¥).

Аналогично, используя алгоритм разложения и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов, можно получить разложения в ряд Маклорена следующих элементарных функций:

при х Î(–¥,+¥);

,   

е сли т≥.0, или  т £ -1, то область сходимости х Î (- 1;1),

е сли –1< т<0, то область сходимости х Î (- 1;1].

Такое разложение называется биномиальным рядом. В частности, полагая в последнем разложении т = –1, получим

, х Î (-1;1).

 

Заменяя в этом разложении х на выражение (– х), получим

, при х Î (–1;1).

Используя теорему об интегрировании степенных рядов и применяя её к разложению в ряд Маклорена функции , получим

 при х Î (–1;1].

Заменяя в разложении функции  переменную х на выражение  и интегрирую, получим

, при х Î [–1;1].

 

Используя биномиальный ряд– разложение в ряд Маклорена функции , полагая , заменяя х на выражение   и интегрируя, получим

, при х Î (–1;1).

Пример 24.

Используя известные разложения, разложитьв ряд Мэклорена функцию .

Решение

Необходимо найти разложение функции в ряд Маклорена, т.е. в степенной ряд по степеням х. Будем использовать разложение

 при t Î (–1;1].

Полагая t = x 2, получим

Это разложение справедливо, когда , откуда , тогда область сходимости .

 

Таким образом,

 

Умножая обе части равенства на х, получим

 при х Î [–1;1].

Пример 25

Используя известные разложения, разложись функцию  в ряд Тейлора в окрестности точки х 0 =1.

Решение.

Необходимо получить разложение функции в ряд Тейлора в окрестноститочки х 0 = 1, т.е. по степеням (х –1).

Будем использовать разложение

, при t Î (-1;1).

Для того, чтобы получить разложение данной функции по степеням (х –1)введем новую переменную t = x –1, тогда х = t + 1.Преобразуем данную функцию к новой переменной, полагая х = t + 1:

Полагая в известном разложении вместо t выражение  и умножая на число , получим

,

при     Î (-1;1).

Полагая в полученном разложении t = x –1,возвратимся к исходной переменной х и получим разложение данной функции в степенной ряд по степеням (х -1):

Это разложение справедливо при условии , откуда .

Итак, получили разложение

 при .

Пример 26

Разложить функцию  в степенной ряд в точке .

Решение.

Преобразуем данную функцию, используя свойства логарифмов:

Используя известное разложение

 при t Î (–1;1].

найдем разложение функции ,полагая t = 2 x, и функции , полагая t = –х:

разложение справедливо при 2 х Î (–1;1),т.е. при .

Аналогично,

и разложение справедливо при (– х) Î (–1;1), т.е. при х Î (–1;1).

Степенные ряды можно почленно складывать и умножать на число, значит

причем это разложение справедливо на общей области сходимости, т.е. при .

П ример 27

Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение.

Преобразуем функцию

.

Используя известное разложение в ряд Маклорена функции у =(1 + t) m, полагая  и , получим

Используемый биномиальный ряд при  имеет область сходимости t Î (-1;1], следовательно, полученное разложение справедливо при , откуда , .

Итак,  при .

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2018-10-14; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 573 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Либо вы управляете вашим днем, либо день управляет вами. © Джим Рон
==> читать все изречения...

825 - | 678 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.