Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

 

       Знакопеременный ряд, знаки членов которого чередуются

называется знакочередующимся рядом.

Для исследования сходимости знакочередующегося ряда используют признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница)      

    Если в знакочередующемся ряде

члены таковы, что

1)  начиная хотя бы с некоторого номера п₀,

2) ,

то знакочередующийся ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда, т.е.

.

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, то можно оценить ошибку, которая получается, если заменить его сумму S частичной суммой . При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с . Но эти отброшенные слагаемые сами образуют сходящийся знакочередующийся ряд, сумма которого, согласно теореме Лейбница, по абсолютной величине не превосходит первого члена этого ряда, т.е. меньше :

, где

Значит, ошибка, допускаемая при замене  на , не превосходит по абсолютной величине первого из отбрасываемых членов.

 

Пример 14.

Доказать, что ряд   сходится и вычислить приближенно значение его суммы с точностью до =0,01.

Решение.

    Данный ряд – знакочередующийся. Для исследования его сходимости используем признак Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы:

1) Докажем, что   при любом п (или начиная с некоторого номера). Для данного ряда имеем  

,

 Þ Þ Þ

получили неравенство, которое верно для любого п, значит, верно и неравенство  для любого п.

2) Проверим условие : .

Таким образом, оба условия теоремы Лейбница выполнены, следовательно, ряд сходится.

Как отмечалось выше, ошибка, допускаемая при замене точного значения суммы  ряда на приближенное значение частичной суммы , не превосходит по абсолютной величине первого из отбрасываемых членов. Значит, чтобы вычислить сумму ряда с указанной точностью, нужно найти такой член ряда, который по абсолютной величине меньше заданной точности и начиная с этого члена отбросить остаток ряда. Затем вычислить оставшуюся частичную сумму – она и будет равна сумме ряда с заданной точностью =0,01.

Для данного ряда имеем:

,

следовательно, для вычисления суммы ряда с точностью =0,01, достаточно взять первых три члена ряда.

.

При этом допущенная ошибка не превосходит первого отброшенного члена, т.е.

Пример 15.

Исследовать сходимость ряда и установить характер сходимости (абсолютная или условная).

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Решение.

а) Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Получили гармонический ряд – он расходится. Но сделать вывод о сходимости заданного знакочередующегося ряда нельзя. Он точно не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд из абсолютных величин расходится. Но он может сходиться условно или расходиться. Проверим это с помощью признака Лейбница.

1) Имеем . Проверим условие :

– получили неравенство, верное для любого п, значит,  для любого п.

2) Условие  также выполняется: .

Следовательно, данный знакочередующийся ряд  сходится по признаку Лейбница. А так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный ряд сходится условно.

б) Для знакочередующегося ряда  составим ряд из абсолютных величин его членов:

.

Применим к этому ряду признак Д¢Аламбера.

,

значит, ряд составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, сходится. А это значит, что и заданный ряд сходится, причем абсолютно.

 

в) К знакочередующемуся ряду  применим признак Лейбница.

1) Проверим выполнение условия :  

 Þ  Þ  Þ

(разделим обе части неравенства на ) Þ  – получили неравенство, верное для любого п, следовательно, для любого п выполняется и неравенство .

2) Проверим условие : , т.е. второе условие признака Лейбница не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.

 

г) Для ряда  составим ряд из абсолютных величин его членов:

.

Общий член полученного ряда представляет собой отношение двух многочленов, поэтому для исследования его сходимости целесообразно применить предельный признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда возьмем гармонический ряд , который расходится. Найдем предел отношения общих членов этих рядов:

.

Значит, оба ряда ведут себя одинаково и следовательно, ряд  расходится.

    Таким образом, пока ничего нельзя сказать о сходимости исходного знакочередующегося ряда, он может расходиться или сходиться условно.

    Применим к заданному ряду признак Лейбница.

1) Проверим выполнение условия :  

 Þ  Þ  Þ .

Очевидно, что при любом значении п знаменатель дроби , значит, числитель дроби тоже больше нуля:

Þ Þ

.

Очевидно, полученное неравенство верно для любого , следовательно, для любого п выполняется и неравенство .

2) Проверим условие : , т.е. второе условие признака Лейбница также выполняется, следовательно, данный ряд сходится. А так как ряд из абсолютных величин его членов расходится, то заданный ряд сходится условно.

 

*) Здесь использован второй замечательный предел.

*) Здесь мы воспользовались известным неравенством  для всех.

*) Здесь использован первый замечательный предел.