Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.

 

    Ряд называется знакопеременным, если его члены имеют произвольные знаки.

    Для таких рядов признаки сходимости, рассмотренные в предыдущем пункте, непосредственно не применимы. Однако, кА мы сейчас установим, исследование сходимости знакопеременных рядов во многих случаях может быть сведено к исследованию положительных рядов. Рассмотрим вначале простейшие случаи:

1) если, начиная с некоторого номера п, все члены рассматриваемого знакопеременного ряда неотрицательны, то после отбрасывания первых п членов (что по свойствам рядов не влияет на сходимость ряда) получим знакоположительный ряд;

2) если, начиная с некоторого номера п, все члены рассматриваемого знакопеременного ряда неположительны, то после отбрасывания первых п членов получим знакоотрицательный ряд, который после умножения на (-1) (что по свойствам рядов не влияет на сходимость ряда) станет знакоположительным рядом;

Принципиально новый случай получается тогда, когда ряд содержит бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных членов. Оказывается, и в этом случае исследование сходимости может быть сведено к исследованию положительных рядов.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов)

Если знакопеременный ряд =  таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

=

сходится, то и исходный ряд также сходится.

    В этом случае сходимость знакопеременного ряда называется абсолютной.

    Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. существуют сходящиеся знакопеременные ряды, для которых ряды из абсолютных величин их членов являются расходящимися. В этом случае сходимость знакопеременного ряда называют условной.

    Таким образом, исследование сходимости знакопеременного ряда следует начинать с исследования ряда из абсолютных величин. Если этот ряд сходится, то исходный знакопеременный ряд сходится, причем абсолютно. Если же ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то исходный ряд может оказаться расходящимся или сходящимся условно.

Пример 13.

    Исследовать сходимость ряда

Решение.

 Вычислим значения синусов, тогда ряд запишется в виде:

Ряд является знакопеременным, т.к. за каждыми двумя положительными членами следуют два отрицательных члена.

    Составим ряд из абсолютных величин членов рассматриваемого ряда:

.

Этот ряд составлен из членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем , значит, ряд сходится. Следовательно, заданный ряд также сходится, причем абсолютно.

    Следует обратить внимание на тот факт, что свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются. Приведем основные свойства:

1. Если ряд сходится абсолютно, то он остаётся абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом его сумма не меняется.

Это свойство не справедливо для условно сходящихся рядов.

2. Если ряд сходится условно, то какое бы число А мы не задали, можно переставить члены ряда так, чтобы его сумма была равна А. Можно переставить члены условно сходящегося ряда так, что полученный ряд будет расходящимся.

Для примера рассмотрим знакопеременный ряд

Чуть позже мы докажем, что этот ряд сходится, и значит, существует предел его п -ой частичной суммы

,

где                            .

Переставим члены ряда так, чтобы за одним положительным следовали два отрицательных члена:

Рассмотрим частичную сумму этого ряда

Но тогда . Таким образом, в результате перестановки членов условно сходящегося ряда его сумма уменьшилась в два раза.