Линейная и векторная алгебра.

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными.

Определение. Число , составленное из элементов квадратной матрицы , называется определением второго порядка.

Определитель второго порядка обозначают иногда как  или :

.

Например: .

Рассмотрим систему линейных уравнений  и)составим:

 - главный определитель системы,

 и  ‑ вспомогательные определители системы.

Вспомогательные определители системы получаются из главного определителя  заменой столбца  коэффициентов при неизвестном  (в ∆₁) и столбца  коэффициентов при неизвестном  (в ∆₂) столбцом  свободных членов. Решение системы находим по правилу Крамера: ,  (при условии ).

 

Определители 3-го порядка, системы 3-х уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим матрицу из девяти элементов (три строки и три столбца):

Первый индекс  элемента  обозначает номер строки, второй  ‑ номер столбца.

Определение. Определением третьего порядка называется число, обозначаемое символом

Для запоминания формулы служит геометрическое правило Саррюса. Складываем произведение элементов, расположенных на главной диагонали и на двух треугольниках, с основаниями параллельными главной диагонали и с вершиной на крайнем элементе побочной диагонали:

, , .

Вычитаем произведение элементов, расположенных на побочной диагонали и на двух треугольниках, с основаниями параллельными побочной диагонали и с вершиной на крайнем элементе главной диагонали:

, , .

Правило Саррюса часто называют так же правилом треугольников и схематично изображают с помощью диаграмм:

                                                             

 

Как и выше, используя определители 3-го порядка, можно по правилу Крамера найти решение системы линейных уравнений

 ().

Здесь  ‑ соответственно главный определитель и три вспомогательных определителя

, , , .

Вспомогательные определители  получаются из главного  заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец правых частей.

Скалярное произведение двух векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла меду ними и обозначаемое

 или .

Если векторы  и  перпендикулярны, то их скалярное произведение . Обратно, если скалярное произведение векторов , то векторы  и  перпендикулярны.

Зная декартовы координаты векторов  и

,

можно найти их длины

, ,

скалярное произведение

,

и косинус угла между ними

.

Перечислим основные свойства векторного произведения:

1) , (из  следует  и обратно);

2)  (переместительный закон);

3)  (распределительный закон);

4) .