Векторное произведение двух векторов.

Определение. Векторным произведением вектора  и  называется вектор , обладающий следующими свойствами

1) , ;

2) ;

3) векторы ,  и  образуют правую тройку, то есть вектор  направлен так, как направлен винт при вращении его против часовой стрелки по кратчайшему расстоянию от первого перемножаемого вектора ко второму.

Векторное произведение означаются  или . Из определения следует

1)  (антиперестановочный закон);

2) ;

3)  (распределительный закон);

4) .

Укажем геометрический смысл векторного произведения. Если  и  площади соответственно параллелограмма и треугольника, построенных на векторах  и , то

 и .

Смешанное произведение трех векторов.

Определение. Произведение  называется смешанным произведением трех векторов ,  и  и обозначается  или .

Если известны декартовы координаты векторов , , , то

.

Перечислим свойства смешанного произведения:

1) ;

2) ;

3)  (если поменять местами два любых вектора, то знак смешенного произведения изменится на противоположный, если поменять местами три вектора, то знак не меняется).

Можно доказать, что модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, или одной второй объема призмы, или одной шестой объема пирамиды, построенных на векторах ,  и , как на сторонах, т.е.

, , .

Аналитическая геометрия

Прямая в пространстве.

Каноническим уравнением прямой, проходящей через точку  параллельно вектору , называется уравнение вида:

.

Вектор называется направляющим . Если даны две прямые с направляющими векторами  и , то косинус угла между этими прямыми определяется по формуле (этот угол всегда острый или прямой)

 .

Плоскость в пространстве.

Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение

.

Вектор  называется нормальным вектором плоскости. Если даны две плоскости с нормальными векторами  и , то косинус угла между этими плоскостями определяется по формуле (этот угол всегда острый или прямой)

.

Если даны три точки ,  и , то уравнение плоскости, проходящей через три точки находится по формуле:

.

Задание 1. По координатам вершины пирамиды  найти:

1. длину ребер  и ;

2. угол между ребрами  и ;

3. площадь грани ;

4. объем пирамиды ;

5. уравнение прямых ; ;

6. уравнения плоскостей   и ;

7. угол между плоскостями   и .

Пример. Выполнить задание 1, если , , , .

1) Если заданы точки , , и  то координаты векторов ,  и их длины ,  равны:

а) ,

.

б) ,

.

2) Угол между ребрами  и  находим как угол между векторами  и . Из определения скалярного произведения следует, что этот угол вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение  находим через декартовы координаты:

.

Тогда

.

Откуда (вычисления проводим на инженерном калькуляторе)

3)  ‑ площадь треугольника, построенного на векторах  и . Зная их декартовы координаты, находим векторное произведение

,

, , .

Тогда

.

4) Учитывая геометрический смысл смешанного произведения векторов, получим формулу для вычисления объема пирамиды:

.

Найдем координаты вектора :

Смешанное произведение этих векторов найдем через их декартовы координаты

.

Отсюда

.

5) Найдем канонические уравнение прямых  и . За направляющие вектора примем вектора  и . За точку лежащую на этих векторах примем точку

прямая : ;

прямая : .

6) Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,  и  находится по формуле:

.

Составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

 или .

Разложив определить по первой строке, получим

.

Итак, уравнение плоскости  найдено . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор .

Аналогично составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

 или .

Разложив определить по первой строке, получим

.

Итак, уравнение плоскости  имеет вид . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор .

7) Угол , образованный двумя плоскостями  и  находится по формуле

, где  и  ‑ нормали плоскостей  и .

Подставляя их значения из пункта 6) находим величину угла  (расчеты выполняем на инженерном калькуляторе)

Задание №2

а) Найти решение системы с помощью правила Крамера;

б) Записать систему в матричной форме и решить средствами матричного исчисления.

Пример.

а) Составим и вычислим главный и вспомогательные определители системы:

,

,

,

.

Находим по правилу Крамера решение системы

.

б) Составим матрицу коэффициентов системы и столбец правых частей

,

и найдем обратную матрицу по формуле:

,

где  и  ‑ соответственно алгебраические дополнения и миноры, связанные между собой соотношением , а - определитель матрицы , вычисленный в пункте а). Найдем миноры:

; ;   ;

;    ;   ;

;    ;       .

Составим теперь обратную матрицу

и найдем столбец неизвестных по формуле :

.

Отсюда .

Задание №3. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

При вычислении предела дробно-рациональной функции при  числитель и знаменатель дроби — величины бесконечно большие, т.е. получаем выражение  которое представляет собой неопределённость. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень .

Пример 1. .

Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на :

.

(при  слагаемые  — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при  числитель и знаменатель имеют предел, равный нулю, т.е. имеем неопределенность , надо разделить их на  и перейти к пределу. Если после деления окажется, что при  числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные нулю, то надо произвести повторное деление на .

Пример 2. .

Данный предел имеет неопределенность вида , так как числитель и знаменатель при  стремятся к 0. Разложим квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе рациональной дроби на линейные множители по формуле , где  и — корни квадратного трёхчлена

.

Сократив рациональную дробь на , получим:

.

При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел

и его следствия:

.

Пример 3. .

Преобразовав разность косинусов в произведение, получим

.

Если в пределе встречается неопределенность , то используется второй замечательный предел  или .

Пример 4. .

Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём

.

Пример 5. .

Выполнив преобразования и применив формулу , найдём

.

Задание №4. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции и определить их тип.

Функция  называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Это равенство означает выполнение трех условий:

1) функция  определена в точке х₀ и ее окрестности;

2) функция  имеет предел при ;

3) предел функции в точке  равен значению функции в этой точке

Если в точке  не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции, то такая точка называется точкой разрыва. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е.  и .

При этом:

1) если , то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

2) если , то х₀  называется точкой конечного разрыва, а величину  называют скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Пример.

Дана функция . Найти точки разрыва, определить их тип.

Функция  определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Очевидно, что

.

Следовательно , . Поэтому в точке  функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен .

Задание №5. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила дифференцирования.

При выполнении данного задания необходимо знать правила дифференцирования (производная суммы, произведения и частного двух функций), а также изучить таблицу производных.

Пример.

1) .

.

2) .

.

3)  Найти .

Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле: .

; .

Тогда .

Задание №6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции , проведенных в данной точке .

Приведем уравнение касательной, проведенной к графику функции  в точке

,

и уравнение нормали к этой касательной

.

Пример.

Для функции  в точке с абсциссой  составить уравнение касательной и уравнение нормали.

1) Найдем значение функции .

2) Найдем значение :

, .

3) Составим уравнения касательной и нормали:

 – искомое уравнение касательной;

 – искомое уравнение нормали.

Задание №7. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя.

Напомним правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида  и :

Пусть  и  – функции, имеющие производные в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой  точки . Пусть при стремлении  обе эти функции стремятся одновременно к нулю или к бесконечности. Тогда, если существует предел отношения их производных  при , то существует и предел отношения самих функций  при , причем оба эти пределы равны:

.

Замечания:

1) Правило Лопиталя остается справедливым и в том случае, если  и  или  при  или при .

2) Если  опять дает неопределенность вида  или , то правило Лопиталя следует применить еще раз.

Примеры:

1) .

2) .

3) .

Задание №8. Построить график функции , используя общую схему исследования функций.

Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить тип функции (четность, нечетность).

3. Найти точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

4. Найти асимптоты графика функции:

а) вертикальные; б) невертикальные (наклонные).

5. Найти точки возможного экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Построить график функции, учитывая проведенные исследования.

Пример. Построить график функции .

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме  (в этом случае знаменатель равен нулю).

2. Для определения типа функции найдем значение

.

Следовательно, функция  не является ни четной ни нечетной.

3. Так как уравнение  не имеет действительных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью ОХ, но пересекает ось ОУ в точке .

Определим интервалы знакопостоянства функции:

.

.

4. Найдем асимптоты графика функции.

а) Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва :

, .

Следовательно прямая  является вертикальной асимптотой.

б). Определим существование наклонной асимптоты:

,

.

Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту  при .

5. Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную функции:

 

.

Приравняем . Решая уравнение , находим корни производной  и .

Исследуем знак производной. Для чего решим неравенство

Находим знаки  на промежутках, учитывая корни  и  квадратного трехчлена :

, ; , ;

, ; ; .

Следовательно, функция возрастает на промежутках

 и ,

и убывает на промежутках

 и .

По изменению знака  получаем точки локальных экстремумов:

, ,

, .

6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:

.

Так как  в нуль не обращается, то точек перегиба у функции нет.

Исследуем знак второй производной, решая неравенство :

 при  и  при .

Следовательно, на интервале  график направлен выпуклостью вверх (выпуклый), а на интервале  – выпуклостью вниз (вогнутый).

По результатам исследования строим график функции .

 

Рис.1 Построение графика функции .

Задание №9. Найти неопределенные интегралы.

Пример. Найти неопределенные интегралы.

а) .

Применим подстановку . Тогда , откуда .

Таким образом,

б) .

Применим формулу интегрирования по частям . Пусть

, , тогда , .

Тогда

.

К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям. Пусть

, , ,

Таким образом,

.

в)

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой

.

Подынтегральную функцию разложим на дроби

,

откуда

.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при  в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений:

Таким образом,

,

.

Вычислим отдельно интеграл . Используя равенства

,

получаем

.

Отсюда окончательно вычисляем интеграл

.

г) .

Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому выполним подстановку , , тогда

 

.

Темы практических занятий

1. Элементы линейной и векторной алгебры. Определители их свойства, вычисление. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Понятие вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов их свойства, некоторые приложения.

2. Элементы аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Прямая в пространстве. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

3. Введение в математический анализ. Предел функции. Односторонние пределы. Предел функции при х→∞. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательный пределы. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва и их классификация.

4. Дифференциальное исчисление. Производная функции, ее геометрический смысл. Основные правила и формулы дифференцирования. Приложения производной.

5. Функции нескольких переменных. Понятие функции двух и более переменных. Область определения, пределы, непрерывность. Частные производные первого и второго порядков. Экстремумы функции двух переменных. Скалярное поле, градиент, производная по направлению, связь между ними.

Содержание и оформление контрольных работ

1. Требования к оформлению контрольных работ: контрольные работы могут выполняться на электронных носителях или в тетради (12 л.) на обложке необходимо указать № к.р., свой факультет, специальность, шифр зачетной книжки, № варианта, ФИО.

2. Требования к структуре контрольной работы:

При выполнении работы необходимо приводить основные теоретические моменты, промежуточные математические доказательства, методики, формулы, расчеты.

В конце работы указывается список использованных источников, ставится число и личная подпись.

 

Вопросы для подготовки к зачету.

1. Матрицы, основные понятия, действия над матрицами.

2. Определитель, основные свойства.

3. Вычисление определителя третьего порядка.

4. Разложение определителя по строке или столбцу.

5. Системы линейных уравнений, основные понятия.

6. Эквивалентные преобразования системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

7. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

8. Векторы, основные понятия (длина, проекция вектора на ось, координаты, направляющие косинусы).

9. Линейные операции над векторами, основные свойства.

10. Скалярное произведение векторов, основные свойства.

11. Скалярное произведение в координатной форме.

12. Приложения скалярного произведения.

13. Векторное произведение, основные свойства.

14. Векторное произведение в координатной форме.

15. Приложения векторного произведения.

16. Смешанное произведение, основные свойства.

17. Смешанное произведение в координатной форме.

18. Приложения скалярного произведения.

19. Различные способы задания прямой на плоскости.

20. Взаимное расположение прямых на плоскости.

21. Плоскость и прямая в пространстве. Общее уравнение плоскости в пространстве.

22. Различные способы задания прямой и плоскости в пространстве.

23. Взаимное расположение плоскостей.

24. Взаимное расположение прямых в пространстве.

25. Взаимное расположение прямой и плоскости.

26. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

27. Функция, основные понятия. Обратная функция, сложная функция.

28. Конечный предел функции по Гейне и по Коши, эквивалентность определений.

29. Основные свойства функции, имеющей конечный предел: предельный переход и арифметические операции, единственность предела функции.

30. 1-ый и 2-ой замечательные пределы.

31. Бесконечно большие функции, бесконечные односторонние пределы.

32. Бесконечно малые функции, теорема о связи между функцией ее пределом и бесконечно малой функцией.

33. Сравнение бесконечно малых функций, порядок малости, эквивалентные бесконечно малые функции.

34. Непрерывность функции в точке, арифметические действия над непрерывными функциями.

35. Определение и классификация точек разрыва.

36. Приращение аргумента, приращение функции в точке, определение производной. Физический смысл производной.

37. Дифференцируемость функции в точке, необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции, связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

38. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

39. Производная сложной и обратной функций.

40. Таблица производных.

41. Производные высших порядков.

42. Дифференциал, определение и геометрический смысл. Основные теоремы о дифференциалах.

43. Исследование функций при помощи производной. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

44. Правила Лопиталя.

45. Возрастание и убывание функций.

46. Максимум и минимум функций.

47. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

48. Асимптоты графика функции.

49. Общая схема исследования функции и построения графика.

50. Функции двух переменных, основные понятия и определения.

51. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.

52. Частные производные первого и второго порядков.

53. Экстремумы функции двух переменных.

54. Скалярное поле, градиент, производная по направлению, связь между ними.