Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Методические указания к выполнению:

Дифференциальным уравнением первого порядка называется функциональное уравнение (неизвестной является функция), связывающее значения переменной , искомой функции  и ее первой производной . Такому уравнению можно придать следующий вид: .

Если уравнение может быть записано в виде , то оно называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной. Функция   называется   решением (частным решением)уравнения на интервале , если и только если она дифференцируема на этом интервале, и при подстановке в уравнение функции и ее производной оно обращается в тождество на этом интервале. Если эта функция определяется в неявном виде, т.е. в виде уравнения , то такое решение называется интегралом (частным интегралом) дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция , удовлетворяющая условиям: 1) при любом значении  из некоторого интервала  функция  является решением уравнения; 2) для любого решения уравнения  существует и единственно такое значение , что . Когда общее решение задано неявно уравнением , то выражение   называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Задача Коши состоит в том, чтобы найти такое частное решение  уравнения, которое удовлетворяет условию: , где  - заданная точка на интервале , а  - заданное значение искомой функции.                                                     

Общее решение уравнения  дается формулой , где  - любая из первообразных функций функции ;  - произвольная постоянная.

Уравнениями с разделенными переменными  называются уравнения первого порядка, записанные в дифференциальной форме, следующего вида: . Общий интеграл такого уравнения имеет вид:

                                                                                                     (*)                  

 

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения .

Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными. Поэтому его общий интеграл будет иметь вид:    или .■

Уравнения первого порядка, записанные в дифференциальной форме и имеющие следующий вид:                                            ,

называются  уравнениями с разделяющимися переменными.

Они  сводятся к уравнениям с разделенными переменными умножением на множитель .

Их общий интегралимеет вид:         

 

Пример 2. Решить уравнение            .

Решение: Преобразуем левую часть уравнения:

.

Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные. Для этого умножим обе части уравнения на множитель :

                                                    

Решением его является общий интеграл ,т. е. .■

Здесь уравнение  имеет вид . Eго решения ,  являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл. Значит, решения ,  являются особыми.               

Однородными дифференциальными уравнениями  называются уравнения первого порядка, которые можно записать в следующем виде:

                                                              .  

Например, уравнение  можно записать в виде   путем деления числителя и знаменателя дроби на .                                                   

Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной  на новую переменную  соотношением:  .              

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения 

.

Решение: Данное уравнение однородное, т.к. его можно преобразовать к виду  или .

Положим . Тогда . Подставляем в исходное уравнение:

,

,

,

последнее — уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные 

                                                          

и интегрируем              , ,

обозначим ,  . Тогда .

Заменяя  на , получаем: — общий интеграл исходного уравнения. ■

Линейными уравнениями называются уравнения первого порядка, которые имеют следующий вид: . Решение уравнения методом Бернулли ищется в виде , где   и   – неизвестные функции переменного   х. Тогда . Подставляя выражения  и  в исходное уравнение, получаем:   или

                               .                                                           (**)

Выбирая функцию  так, чтобы выражение в скобках было

равно нулю, решаем уравнение . Разделяя переменные и интегрируя, получим:

. Полагая , будем иметь .

Подставляя найденную функцию    в уравнение (**), получаем уравнение

                                                .

Решаем его разделением переменных и интегрированием: .

Возвращаясь к переменной , получаем общее решение исходного уравнения:

                                                                    

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение: Полагаем . Тогда , т. е. . Сначала решаем уравнение :

, , .

Теперь решаем уравнение , т. е.

', , ,

Итак, общее решение данного уравнения есть  т. е. . ■                                                                               

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?
2. Что называется решением дифференциального уравнения?
3. Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения уравнения первого порядка.
4. Что называется общим и частным решением уравнения первого порядка?
5. В чем заключается метод решения уравнения с разделенными переменными?
6. Как решить однородное дифференциальное уравнение?
7. Раскрыть суть методов решения линейного уравнения первого порядка.

 

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/ В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 9 – е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 320 с.
2. Григорьев В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования/ В.П. Григорьев, Т.Н. Сабурова. – 5-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 160 с.
3. Григорьев В.П. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/ В.П. Григорьев, Т.Н. Сабурова. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 368 с.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. – 3-е изд. перераб. И доп. – М.: Высш. шк.,1990. – 495 с.