Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Пусть   и  ‒ дифференцируемые функции. Тогда в силу правила дифференцирования произведения функций получим:

                                                 .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она показывает, что подынтегральную функцию заданного интеграла необходимо представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых интегрируют, а другой - дифференцируют. В результате получается более простой интеграл.

Формулу интегрирования по частям удобнее записывать в виде: 

                                                 .

Пример 5. Найти .

Решение: Положим . Тогда .

По формуле интегрирования по частям получим:

.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется первообразной функции?

2. Сформулировать теорему об общем виде первообразной данной функции.

3. Что называется неопределенным интегралом?

4. Сформулировать основные свойства неопределенного интеграла.

5. В чем суть инвариантности формулы интегрирования?

6. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

7. Проверьте с помощью дифференцирования таблицу основных интегралов.

1. Суть интегрирования методом замены переменной?
2. В чем заключается метод интегрирования по частям? Записать формулу интегрирования по частям.
3. Какие интегралы вычисляют методом интегрирования по частям?

 

 

Тема: Определенный интеграл. Вычисление определенных интегралов методом замены переменной и методом интегрирования по частям. Приложение определенного интеграла.

Методические указания к выполнению:

Пусть функция   определена на отрезке , если произвольно разбить отрезок       на   частей, т.е. , то интегральной суммой для функции        

называется сумма вида , где , , ,  а определенным интегралом от функции   по отрезку  , который обозначается символом , - предел интегральных сумм, т. е.

                                            .

Если этот предел существует, то функция  называется интегрируемой по отрезку .

Необходимое условие существования определенного интеграла:

если функция интегрируема по отрезку , то она ограничена на этом отрезке.

Достаточные условия существования определенного интеграла:

если  функция   непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку;  

если функция   непрерывна на отрезке , за исключением конечного числа точек, и ограничена на этом отрезке, то она интегрируема по отрезку .

Свойства определенного интеграла.

1. .

2. .

3.  .

4.  .

5. , где  - постоянная.

6. Если  () для  и , то .

7. Если для  и , то .

8. Если интегрируема на отрезке     и  на , где  - некоторые числа, то .

9. Если функция  непрерывна на отрезке ,то существует такая точка   , что справедливо равенство   (теорема о среднем значении).