Тема: Производная функции.

Методические указания к выполнению:

Производной функции   в точке   называетсяпредел отношения приращения функции  к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю:

или

Обозначения производной в точке :

, , ,    или .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале.

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением , то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке

Уравнение касательной к кривой  в точке имеет вид:   

Правила дифференцирования

Пусть   и  две дифференцируемые в некотором интервале  функции.

1. ;

2. ;

 

3. , где ;

4. ;  

5. , где ;

6.  где ;

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

1. ;

2. ;

3. ;  

4.   a > 0, a 1; 

5. ; 

6. ; 

7.  ;                 

8.  ;                                 

9. ;                         

10. ;

11. ;

12. ;

13.

14.

15.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение.

.■

  Пример 2. Найти производную функции .

Решение. .■

 

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. .■

Правило нахождения производной сложной функции формулирует следующая теорема.

Пусть   и , тогда  -сложная функция с промежуточным аргументом   и и независимым аргументом х.

Теорема. Если функция   имеет производную   в точке х, а функция  имеет производную , в соответствующей точке , то сложная функция   имеет производную   в точке х, которая находится по формуле .

 

Пусть функция  имеет в точке х отличную от нуля производную:

Если функция   дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается (или , ; ; ).

Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается  (или , , …).

Итак, .

Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от производной (n - 1) порядка:

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Начинаем с последней операции: находим производную синуса, при этом аргумент синуса переписываем и затем умножаем на производную аргумента

.■

Пример 5.  Найти производную функции

Решение.

Пример 6. Найти производную второго порядка функции .

Решение. Производную второго порядка равна , поэтому найдём производную первого порядка, а затем второго.

.

.

Пример 7.   Найти производную п-го порядка функции а) ; б) .

а) Имеем , , , . Очевидно, что все последующие вычисления производных пятого, шестого и других порядков будут повторяться. Нетрудно убедиться, что производную п-го порядка можно представить в виде

,  

б) Имеем , ,.... Общая формула . ■.

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте понятие приращения функции.
2. Сформулируйте понятие производной функции.
3. Какая функция называется дифференцируемой?
4. В чем состоит физический смысл производной функции?
5. В чем состоит геометрический смысл производной функции?
6. Дать определение касательной к кривой и записать ее уравнение.
7. Какова связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции?
8. Сформулировать основные правила дифференцирования функции.
9. Правило дифференцирования сложной функции.
10. Что называется дифференциалом функции?
11. Какова формула приближенного вычисления значения функции с помощью дифференциала?
12. Что называется производной n -го порядка функции ?